Przestrzeń czasowa

Przestrzeń czasowa – w matematyce dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych $\mathbb R$ oznaczany $\mathbb T$. Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na $\mathbb R$ i równań różnicowych na $\mathbb Z$, oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skoku

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń $\mathbb T$ są funkcje skoku:

$\sigma(t) = \inf\{s \in \mathbb{T} : s>t\}$ funkcja następnika / funkcja skoku przedniego (forward jump operator)

$\rho(t) = \sup\{s \in \mathbb{T} : s<t\}$ funkcja poprzednika / funkcja skoku wstecznego (backward jump operator)

$\mu(t) = \sigma(t) \mathbb{}-t$ funkcja ziarnistości (graininess function)

Klasyfikacja punktów

Każdy punkt $t\in\mathbb{T}$ ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt t jest:

• lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli $\rho(t) =t$
• prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli $\sigma(t) =t$
• lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli $\rho(t)< t$
• prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli $\sigma(t) > t$
• gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty
• izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany

Δ-pochodna

Rozpatrzmy funkcję:

$f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$,

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji $f$ w punkcie t nazwiemy liczbę $f^{\Delta}(t)$ o własności:

$\forall_{\varepsilon > 0}\;\exists_{\delta > 0}\;\forall_{s \in B(t,\delta)\cap\mathbb T}\;\;|f(\sigma(t))-f(s)- f^{\Delta}(t)(\sigma(t)-s)|\le \varepsilon|\sigma(t)-s|$

• jeżeli $t=\sigma(t)$ i funkcja $f$ jest ciągła w $t$, to: $f^{\Delta}(t)=\lim_{s \rightarrow t} \frac{f(t)-f(s)}{t-s}$
• jeżeli $t < \sigma(t)$ (i $f$ ciągła w $t$), to: $f^{\Delta}(t)=\frac{f\big(\sigma(t)\big)-f\big(t\big)}{\mu(t)}$

Jeśli $f$ i $g$ są $\Delta$ różniczkowalne w punkcie $t\in \mathbb{T}$, to:

• $\mathbb{}(\alpha f+\beta g)^{\Delta}(t)=\alpha f^{\Delta}(t)+\beta g^{\Delta}(t)$
• $\mathbb{}(f g)^{\Delta}(t) = f^{\Delta}(t)g(\sigma(t))+f(t)g^{\Delta}(t) = f^{\Delta}(t)g(t)+f(\sigma(t))g^{\Delta}(t)$
• jeżeli dodatkowo $g(t)g(\sigma(t))\ne 0$ to:

$\left(\frac{f}{g}\right)^{\Delta}\!(t) = \frac{f^{\Delta}(t)g(t)-f(t)g^{\Delta}(t)}{g(t)g(\sigma(t))} = \frac{f^{\Delta}(t)g(\sigma(t))-f(\sigma(t))g^{\Delta}(t)}{g(t)g(\sigma(t))}$

Całkowanie

Rozpatrzmy funkcję:

$f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$

Funkcją pierwotną funkcji f nazwiemy funkcję $F: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ taką, że $\forall_{t\in\mathbb T} \; F^{\Delta}(t)=f(t)$

Funkcję f nazwiemy pg-ciągłą jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala nam zdefiniować całkę dla funkcji pg-ciągłych:

$\int\limits_{t_0}^t f(x) \Delta x \; := F(t) - F(t_0)$

Własności całki:

• $\int_a^b\alpha f(t)+\beta g(t)\Delta t=\alpha\int_a^bf(t)\Delta t+\beta\int_a^bg(t)\Delta t$
• $\int_t^{\sigma(t)}f(\tau)\Delta\tau=f(t)\mu(t)$
• $[a,b]\subset\mathbb{T} \Rightarrow \int_a^bf(t)\Delta t=\int_a^bf(t)dt$
• $\int_a^bf(t)\Delta t=-\int_b^af(t)\Delta t$
• $\int_a^bf(t)\Delta t=\int_a^cf(t)\Delta t+\int_c^bf(t)\Delta t$
• $|f(t)|\leqslant g(t) \Rightarrow \left|\int_a^bf(t)\Delta t\right|\leqslant\int_a^bg(t)dt$

Podstawowe przykłady

Jeżeli za $\mathbb T$ przyjmiemy $\mathbb R$, to: $\sigma(t)=t, \; \mu(t)=0, \; f^{\Delta}(t)=f'(t), \; \int\limits_{t_0}^t f(x) \Delta x = \int\limits_{t_0}^t f(x) dx$

Jeżeli za $\mathbb T$ przyjmiemy $\mathbb Z$, to: $\sigma(t)=t+1, \; \mu(t)=1, \; f^{\Delta}(t)=\Delta f(t), \; \int\limits_{t_0}^t f(x) \Delta x = \sum\limits_{t_0}^{t-1} f(x)$

Zobacz też

• Analiza na fraktalach (ang.)