Przestrzeń funkcyjna

Spis treści

1 Wprowadzenie
2 Liniowa niezależność
3 Przykłady
4 Zobacz też

Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru $X$ w zbiór $Y.$ Jest on nazywany przestrzenią, gdyż w wielu zastosowaniach jest on przestrzenią topologiczną, czy liniową, a nawet oboma jednocześnie.

Sama analiza funkcjonalna skupiona jest wokół odpowiednich technik, które mogłyby zbliżyć przestrzenie funkcyjne postrzegane jako przestrzenie liniowo-topologiczne do pojęć stosowanych do opisu przestrzeni unormowanych skończonego wymiaru.

[edytuj] Wprowadzenie

Zobacz też: przykłady przestrzeni liniowych.

Przestrzenią funkcyjną jest zbiór $C[a, b]$ wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym $[a, b]$ .

Określając bowiem działania na funkcjach w „naturalny” sposób jako

$\bigl(f + g\bigr)(x) := f(x) + g(x),$

$(af)(x) := a f(x)\;$ dla $a \in \mathbb R,$

a normę funkcji jako

$\|f\| := \sup_{x \in [a,b]} \bigl|f(x)\bigr|$

otrzymuje się unormowaną przestrzeń liniową. Okazuje się, że jest ona przestrzenią Banacha, dlatego podczas badania tej przestrzeni można korzystać z całego aparatu ogólnej teorii.

[edytuj] Liniowa niezależność

Osobny artykuł: liniowa niezależność.

Funkcje, traktowane jako wektory pewnej przestrzeni funkcyjnej, również mogą być liniowo niezależne: jest to zbiór funkcji $f_i$ takich, że żadnej funkcji nie można przedstawić jako kombinacji liniowej innych funkcji z tego zbioru.

Przykładem może być układ funkcji potęgowych $y = x^n,\; n \in \mathbb N$ określonych dla $x \in \mathbb R.$

[edytuj] Przykłady

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

W teorii mnogości zbiór $Y^X$ funkcji zbioru $X$ w $Y$ oznacza się także niekiedy symbolem $X \to Y.$
Jako przypadek szczególny, zbiór potęgowy $\mathcal P(X)$ zbioru $X$ może być utożamiany ze zbiorem funkcji ze zbioru $X$ w $\{0, 1\};$ z tego powodu oznacza się też go symbolem $2^X.$
Zbiór bijekcji z $X$ w $Y$ bywa oznaczany $X \leftrightarrow Y.$ Istnieje także notacja silni $X!$ oznaczająca permutacje zbioru $X.$
W algebrze liniowej zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni liniowej $V$ w inną przestrzeń liniową $W$ nad tym samym ciałem sam jest przestrzenią liniową.
W analizie funkcjonalnej to samo obserwuje się dla ciągłych przekształceń liniowych, biorąc pod uwagę topologie na przestrzeniach liniowych z powyższego przykładu, jak również wiele innych ważnych przykładów obejmuje przestrzenie funkcyjne wyposażone w topologie; najbardziej znanymi przykładami są m.in. przestrzenie Hilberta i przestrzenie Banacha.
W analizie funkcjonalnej zbiór wszystkich liczb naturalnych w pewien zbiór $X$ nazywa się przestrzenią ciągową; składa się ona ze zbioru wszystkich możliwych ciągów elementów zbioru $X.$
W topologii można próbować ustalić topologię na przestrzeni funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej $X$ w inną przestrzeń topologiczną $Y,$ których przydatność zależy od natury tych przestrzeni. Powszechnie używanym przykładem jest topologia zwarto-otwarta, np. przestrzeń pętli. Innym jest topologia produktowa określona na przestrzeni funkcji (niekoniecznie ciągłych) $Y^X.$ W tym kontekście topologię tę nazywa się także topologią zbieżności punktowej.
W topologii algebraicznej teoria homotopii zajmuje się w istocie badaniem dyskretnych niezmienników przestrzeni funkcyjnych.
W teorii procesów stochastycznych podstawowym problemem technicznym jest skonstruowanie miary probabilistycznej na przestrzeni funkcyjnej ścieżek procesu (funkcje czasu).
W teorii kategorii przestrzeń funkcyjną nazywa się obiektem wykładniczym bądź eksponentem. Z jednej strony pojawia się on jako reprezentacja bifunktora kanonicznego, ale jako (pojedynczy) funktor typu $[X, \cdot]$ jawi się on jako funktor dołączony do funktora typu $(\cdot \times X)$ na obiektach.
w programowaniu funkcyjnym i rachunku lambda wykorzystuje się typy przestrzeni funkcyjnych do wyrażenia idei funkcji wyższego rzędu.
w teoria dziedzin poszukuje się przede wszystkim konstrukcji opartych na częściowych porządkach, które mogłyby modelować rachunek lambda poprzez uzyskanie porządnej kartezjańsko domkniętej kategorii.