Przestrzeń jednostajnie wypukła

Przestrzeń jednostajnie wypukła - przestrzeń unormowana $X$ spełniająca warunek

($\forall{\varepsilon>0})(\exists{\delta>0})(\forall{x,y\in X})\left( \|x\|\leqslant 1, \|y\|\leqslant 1, \|x-y\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|\tfrac{1}{2}(x+y)\|\leqslant 1-\delta\right)$.

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Przykłady

Przestrzenie unitarne

Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego $\varepsilon >0$ oraz $\|x\|, \|y\|\leqslant 1$ spełniony jest warunek

$\|\tfrac{1}{2}(x+y)\|^2=\tfrac{1}{2}\|x\|^2+\tfrac{1}{2}\|y\|^2-\tfrac{1}{4}\|x-y\|^2\leqslant 1-\frac{1}{4}\varepsilon^2$,

skąd wynika, że

$\|\tfrac{1}{2}(x+y)\|\leqslant \sqrt{1-\tfrac{1}{4}\varepsilon^2}\leqslant 1-\tfrac{1}{8}\varepsilon^2$.

Przestrzenie L^p i l^p

Dla $p\in (1,\infty)$ przestrzenie $\ell^p$ oraz $L^p(a,b)$ są jednostajnie wypukłe, gdzie $(a,b)$ jest pewnym przedziałem na prostej. Wynik ten należy do amerykańskiego matematyka Jamesa Clarksona.

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna $\mathbb{R}^2$ z normą $\|(x,y)\|=\max\{|x|, |y|\}$.

Twierdzenie Clarksona-Milmana

Każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna.

Twierdzenie zwane to jest czasem także twierdzeniem Milmana-Pettisa.

Zbieżność

W przestrzeni jednostajnie wypukłej $X$, jeśli ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu $x_0$ oraz

$\|x_n\|\to \|x_0\|$,

to ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest mocno zbieżny do punktu $x_0$.

Bibliografia

1. J. A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Transactions of the American Mathematical Society 40 (1936), 396–414.
2. O. Hanner, On the uniform convexity of L^p and l^p, Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.
3. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976, s. 192.