Przestrzeń lokalnie zwarta

W topologii, przestrzeń lokalnie zwarta to przestrzeń topologiczna która lokalnie wygląda tak jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna $(X,\tau)$ jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt $x\in X$ ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów zwartych.

[edytuj] Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

odcinek domknięty $[0,1]$ , zbiór Cantora i ogólniej każda przestrzeń zwarta,
prosta rzeczywista ${\mathbb R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\mathbb R}^n$ ,
każda przestrzeń dyskretna.

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

przestrzeń liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z topologią podprzestrzeni ${\mathbb R}$ ,
przestrzeń Baire'a ${\mathbb N}^{\mathbb N}$
przestrzeń liczb niewymiernych ${\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}$ z topologią podprzestrzeni ${\mathbb R}$ (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire'a)

przestrzeń $\{(0,0)\}\cup\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y>0\}$ (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

[edytuj] Własności

Jeśli $X$ jest przestrzenią T₂, to

$X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy gdy każdy punkt $x\in X$ ma otoczenie zwarte.

Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
Całkowicie regularna przestrzeń $X$ jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone'a $\beta X$ .
Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T₂.
Zarówno otwarte jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
Jeśli $(X,\tau)$ jest lokalnie zwartą przestrzenią T₂, $U\in \tau$ oraz $Z\subseteq U$ jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty $V\in\tau$ taki, że $Z\subseteq V\subseteq {\rm cl}(V)\subseteq U$ oraz ${\rm cl}(V)$ jest zwarte.
Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw miara Haara.