Przestrzeń metryzowalna

Przestrzeń metryzowalna – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że w zbiorze X istnieje metryka wyznaczająca topologię identyczną z wyjściową topologią przestrzeni X. Jeżeli τ jest topologią w przestrzeni X oraz d jest metryką, która wyznacza topologię τ, to odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem, co oznacza, że przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne. W szczególności, każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Twierdzenia o metryzacji

Pod nazwą twierdzenie o metryzacji rozumie się każde twierdzenie dające warunki wystarczające na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki Pawła Urysohna mówiące, że:

• Przestrzeń zwarta Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
• Przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularną przestrzenią Hausdorffa.

Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku, drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnych. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił Andriej Tichonow w 1926 roku. Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:

• Kostka Hilberta jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni uniwersalnych ośrodkowych i dla przestrzeni metryzowalnych zwartych.

Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest twierdzenie Nagaty-Smirnowa które mówi, że:

• Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-lokalnie skończoną.

Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest twierdzenie Binga (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że:

• Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-dyskretną.

Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky'ego:

• Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża $J(\kappa)$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze $\kappa$

O przestrzeni mówi się, że jest lokalnie metryzowalna, jeśli każdy punkt ma metryzowalne otoczenie. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i parazwarta. W szczególności, rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.

Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są np. twierdzenie Archangielskiego, twierdzenie Moore'a czy twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna.

Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych

Każda przestrzeń metryczna jest normalna więc, przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.

• Prosta Sorgenfreya nie jest metryzowalna. Przestrzeń ta jest Hausdorffa, parazwarta i spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
• Prosta Aleksandrowa jest lokalnie metryzowalna, ale nie jest metryzowalna.
• przestrzeń liniowo-topologiczna wszystkich funkcji $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ z topologią zbieżności punktowej (topologia ta pokrywa się z topologią Tichonowa w produkcie $\mathbb{R}^\mathbb{R}$.
• topologia Zariskiego na rozmaitości algebraicznej lub na spektrum pierścienia (pojęcie geometrii algebraicznej) – przestrzeń z topologią Zariskiego nie jest nawet przestrzenią Hausdorffa, więc nie może być metryzowalna.

Zobacz też

• uniformowalność, własność przestrzeni topologicznej bycia homeomorficzną z przestrzenią jednostajną lub, równoważnie, topologia zdefiniowana przez rodzinę pseudometryk,
• przestrzeń Moore'a.