Przestrzeń T4

Przestrzeń normalna i przestrzeń $T_4$ to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Definicje

Powiemy że w przestrzeni topologicznej $X$ rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli

dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych $E,F\subseteq X$ (czyli $E\cap F=\emptyset$) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie że $E\subseteq U$ i $F\subseteq V$:

Zbiory domknięte E i F, przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U i V, przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że zbiory domknięte E,F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U,V.

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią normalną (albo $T_4$) wtedy i tylko wtedy gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń $T_4$ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii definiuje

• przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni $T_4$.

Z drugiej strony Engelking definiuje

• bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią $T_4$ jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady

• Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
• Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
• Płaszczyzna Niemyckiego jest przykładem przestrzeni Tichonowa która nie jest normalna.
• Jeśli CH jest prawdziwa i $p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$, to $(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\}$ nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie $\beta {\mathbb N}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone'a dyskretnej przestrzeni ${\mathbb N}$ liczb naturalnych.

Własności

• Każda przestrzeń normalna jest przestrzenią Tichonowa. Zachodzi nawet mocniejszy lemat Urysohna:

Jeśli $X$ jest przestrzenią normalną i $E,F\subseteq X$ są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje funkcja ciągła $F:X\longrightarrow [0,1]$ taka że $f(x)=0$ dla $x\in E$ oraz $f(x)=1$ dla $x\in F$.

• Zachodzi nawet następujące silniejsze Twierdzenie Tietzego-Urysohna:

Jeśli $X$ jest przestrzenią normalną, $F\subseteq X$ jest jej podzbiorem domkniętym i $f:F\longrightarrow{\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła $g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ przedłużająca $f$ (tzn taka że $g(x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in F$).

• Żadna ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domkniętej dyskretnej podprzestrzeni mocy continuum.
• Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne. Obraz przestrzeni normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią normalną.
• Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność być przestrzenią normalną nie jest własnością dziedziczną). Także iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_4$ nie musi być przestrzenią $T_4$.
• Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń Tichonowa ($T_{3\frac{1}{2}}$),
• przestrzeń dziedzicznie normalna ($T_5$).