Przestrzeń ośrodkowa

Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).

Klasycznym przykładem przestrzeni ośrodkowej jest zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Ośrodkiem jest na przykład zbiór liczb wymiernych.

Przykładem przestrzeni nieośrodkowej może być również prosta rzeczywista, ale z topologią dyskretną, czyli prosta rzeczywista, w której każdy punkt jest zbiorem otwartym.

Podstawowe własności

1. Przestrzeń ośrodkowa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy posiada bazę przeliczalną.
2. Jeśli przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności, to jest ośrodkowa; implikacja w drugą stronę jest prawdziwa dla przestrzeni metrycznych.
3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa (założenie metryczności jest istotne).
4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
5. Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
   Nawet iloczyn kartezjański $\le 2^{\aleph_0}$ wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
6. Przestrzeń ośrodkowa przekształcona przez funkcję ciągłą jest ośrodkowa.