Przestrzeń polska

Przestrzeń polska – ośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Przestrzenie polskie badane są w topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. Nazwa pojęcia powstała dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.

W pierwszej połowie XX wieku, przestrzenie polskie odgrywały istotną rolę w analizie funkcjonalnej i teorii miary, później były głównym obiektem zainteresowania w opisowej teorii mnogości, a w ostatnich latach są kluczowym elementem w badaniach borelowskich relacji równoważności oraz działań grup. W ostatnim zastosowaniu szczególną pozycję zajmują tzw. grupy polskie, czyli grupy topologiczne będące przy tym przestrzeniami polskimi.

Przestrzeń polską nazywa się doskonałą, jeżeli nie ma ona punktów izolowanych, czyli jednopunktowych zbiorów otwartych.

Należy mieć na uwadze, że przestrzeń polska nie jest definiowana jako ośrodkowa zupełna przestrzeń metryczna, aby wyróżnić topologię przestrzeni, a nie metrykę ją generującą.

Ponieważ głównym obiektem zainteresowania większości badań są doskonałe przestrzenie polskie, niektórzy autorzy używają terminu "przestrzeń polska" mając na myśli doskonałą przestrzeń polską. Należy więc uważnie zapoznać się z używaną przez autora terminologią.

[edytuj] Przykłady

Prosta rzeczywista ${\mathbb R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\mathbb R}^n$ jest doskonałą przestrzenią polską.
Każda co najwyżej przeliczalna przestrzeń dyskretna jest przestrzenią polską.
Produkt kartezjański przeliczalnie wielu przestrzeni polskich jest z topologią produktową przestrzenią polską. W szczególności, zbiór Cantora $2^\omega$ i przestrzeń Baire'a $\omega^\omega$ , każda wyposażona w topologię produktu odpowiednich przestrzeni dyskretnych, są doskonałymi przestrzeniami polskimi.
Niech $C([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ . Wyposażmy $C([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę $d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|\colon x\in [0,1]\}$ . Wówczas $C([0,1])$ jest doskonałą przestrzenią polską.

[edytuj] Własności

Domknięta podprzestrzeń przestrzeni polskiej jest polska.
Przestrzenie polskie są przestrzeniami Baire'a: przekrój przeliczalnie wielu otwartych gęstych podzbiorów przestrzeni jest gęsty.
Aleksandrow udowodnił, że jeśli $X$ jest przestrzenią polską oraz $Y\subseteq X$ jest jej podzbiorem typu G_δ, to $Y$ (z topologią podprzestrzeni) też jest przestrzenią polską.
Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli $X$ jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna $f^{-1}$ jest mierzalna). W szczególności, każda doskonała przestrzeń polska jest mocy continuum.
Twierdzenie Kuratowskiego mówi że jeśli $X_1,X_2$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać takie ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii $Z_1\subseteq X_1$ i $Z_2\subseteq X_2$ , że przestrzenie $X_1\setminus Z_1$ i $X_2\setminus Z_2$ są homeomorficzne.