Przestrzeń refleksywna

Przestrzeń refleksywna - w analizie funkcjonalnej, przestrzeń unormowana X, która jest izomorficzna ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną poprzez odwzorowanie

$\kappa\colon X\to X^{**}$

dane wzorem

$\kappa(x)x^*=x^*x,\,\, x\in X, x^*\in X^{*}$,

nazywane zanurzeniem kanonicznym przestrzeni $X$ w $X^{**}$. Dla każdej przestrzeni $X$ zdefiniowane wyżej odwzorowanie $\kappa$ jest różnowartościowe. Przestrzeń $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy $\kappa$ jest odwzorowaniem na $X^{**}$.

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Izometryczność zanurzenia kanonicznego

Jeżeli $B, B^*$ oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, $X$ i $X^*$, to

$\|x^*\|=\sup\{|x^* x|\colon\, x\in B\}$ dla wszystkich $x^* \in X^*$

oraz

$\|x\|=\sup\{|x^* x|\colon\, x^*\in B^*\}$ dla wszystkich $x\in X$,

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Dla wszystkich funkcjonałów $x^*$ z $X^*$ i wszystkich elementów $x$ z przestrzeni $X$ zachodzi nierówność

$|x^* x|\leqslant \|x^*\|\|x\|$ ,

więc odwzorowanie $\kappa$ jest izometrią, gdyż dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$ spełniona jest równość:

$\|\kappa(x)\|=\sup\{|\kappa(x)(x^*)|\colon\, x^*\in B^*\}=\sup\{|x^* x|\colon\, x^*\in B^*\}=\|x\|$.

Przestrzeń $X^{**}$ jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy $X$ jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa). Każda przestrzeń refleksywna jest więc zupełna (jest przestrzenią Banacha) jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Własności i przykłady

• Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna.
• Przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy $X^*$ jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
• Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
• W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine'a).
• Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód).
• Twierdzenie Clarksona-Milmana mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie L^p dla $p>1$ są refleksywne).
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie - przykładem jest przestrzeń c₀, tzn. przestrzeń wszystkich ciągów liczb zespolonych zbieżnych do zera z normą supremum.
• Używając twierdzenia Eberleina-Šmuliana można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.
• Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne - pierwszym przykładem takiej przestrzeni była przestrzeń Jamesa.

Twierdzenie Phillipsa

Przestrzeń $X$ nazywa się:

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X$, że $\|x\|=1$ istnieje dokładnie jeden taki element $x^*$ przestrzeni $X^*$, że $\|x^*\|=1$ oraz $x^*x=1$.
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie $x\mapsto x^*$ takie jak w powyższej definicji jest jest ciągłe w sensie słabej topologii w $X^*$.

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodyma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X^*$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$) a jej własnością Radona-Nikodyma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X^*$ jest refleksywna jeśli:	$X^*$ ma własność Radona-Nikodyma jeśli:
$X^{****}$ jest ściśle wypukła
$X^{***}$ jest gładka (ang. smooth)	$X^{***}$ jest ściśle wypukła.
$X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X^{**}$ jest gładka
$X^*$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	$X^{*}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X^*$ jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera:

Jeśli $X^{***}$ jest silnie wypukła oraz $X^*$ zawiera właściwą podprzestrzeń liniową $Y$ dla której odwzorowanie kanoniczne $X\to Y^*$ jest izometrią, to $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

1. John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455. 
2. Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212. 
3. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976. 
4. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.