Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła

Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła - przestrzeń Banacha $X$ o tej własności, że dla każdej dodaniej liczby $\varepsilon$ i każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X$ o normie równej 1, istnieje taka liczba $\delta>0$ (zależna od $\varepsilon$ i $x$), że jeżeli $y$ jest elementem przestrzeni $X$ o normie równej 1 oraz

$\|x-y\|\geq \varepsilon$,

to

$\frac{\|x+y\|}{2}\leq 1-\delta$.

Pojęcie przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłej uogólnia pojęcie przestrzeni jednostajnie wypukłej i zostało wprowadzone w roku 1955 przez A.R. Lovaglię - udowodnił on, m.in., że $\ell^2$-suma przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłych nadal jest przestrzenią lokalnie jednostajnie wypukłą.

Dowodzi się, że przestrzeń Banacha jest lokalnie jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jej punktów $(x_n)_{n}$ o wyrazach mających normę równą 1 oraz dla którego istnieje granica

$\lim_{n\to\infty}\|x_n+x_0\|=2$,

przy pewnym elemencie $x_0$ przestrzeni $X$ mającym normę 1, jest zbieżny do punktu $x_0$.

W literaturze używane bywa także pojęcie słabo lokalnie jednostajnie wypukłej przestrzeni Banacha, które definiuje się zastępując warunek zbieżności ciągu $(x_n)$ do $x_0$ powyżej słabą zbieżnością.

Własności i przykłady

• W przestrzeni $C([0,1])$, tj. przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym (a więc, w szczególności, w każdej każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha), istnieje norma równoważna, która jest lokalnie jednostajnie wypukła.
• W każdej przestrzeni Banacha typu WCG istnieje norma lokalnie jednostajnie wypukła.
• Jeżeli $X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, to $X$ jest refleksywna.
• Przestrzeń sprzężona przestrzeni Banacha, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła ma również własność Radona-Nikodyma.

Bibliografia

1. Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212. 
2. Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 240. ISBN 0-8176-4367-2.