Moduł dualny

Moduł dualny – w algebrze moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych, elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem.

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja

Niech $\scriptstyle M, N$ będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym $\scriptstyle R.$ Zbiór $\scriptstyle \mathrm{Hom}_R(M, N)$ wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) $\scriptstyle M \to N$ sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do $\scriptstyle M$ względem $\scriptstyle N$. Jeśli $\scriptstyle N = R,$ to $\scriptstyle \mathrm{Hom}_R(M, R)$ nazywa się po prostu modułem dualnym do $\scriptstyle M,$ bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej $\scriptstyle M,$ czyli modułu nad ciałem $\scriptstyle R;$ zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem $\scriptstyle M^\star$.

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem $\scriptstyle R$ (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej $\scriptstyle \mathrm{Hom}_R(X, Y)$ będzie zapisywane po prostu $\scriptstyle \mathrm{Hom}(X, Y).$

Sumy i produkty proste

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: $\scriptstyle (M \oplus N)^\star \simeq M^\star \oplus N^\star$. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli $\scriptstyle (M_i)$ jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm $\scriptstyle \left(\bigoplus M_i\right)^\star \simeq \prod M_i^\star$. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie $\scriptstyle \left(\bigoplus M_i\right)^\star \to \prod M_i^\star$ będące iniekcją, które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Jeśli $\scriptstyle M$ jest skończenie generowanym modułem wolnym nad $\scriptstyle R$ rangi $\scriptstyle n > 0,$ tj. $\scriptstyle M \simeq R^n,$ to $\scriptstyle M^\star$ również jest tej postaci; jeśli $\scriptstyle M$ jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to $\scriptstyle M^\star$ nie musi być wolny.

Bazy dualne

Niech $\scriptstyle M \simeq R^n,$ wtedy też $\scriptstyle M^\star \simeq R^n$ (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy $\scriptstyle (\mathsf e_i)$ w $\scriptstyle M$ sprawia, że każda forma liniowa $\scriptstyle \varphi \in M^\star$ jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy $\scriptstyle M$ odwzorowując $\scriptstyle \varphi \in M^\star$ w element $(\scriptstyle \varphi(\mathsf e_1), \dots, \varphi(\mathsf e_n)\displaystyle)\scriptstyle \in R^n$ – jest to zanurzenie $\scriptstyle M^\star \to R^n,$ które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element $\scriptstyle R^n$): jeśli $\scriptstyle \varphi_i(c_1 \mathsf e_1 + \dots + c_n \mathsf e_n)$ są rzutami względem bazy $\scriptstyle (\mathsf e_i)$ na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy $\scriptstyle \mathsf e_i;$ oznacza to, że $\scriptstyle M^\star \to R^n$ jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę $\scriptstyle M^\star.$

Bazą dualną do bazy $\scriptstyle \mathsf e_1, \dots, \mathsf e_n$ modułu $\scriptstyle M$ nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami $\scriptstyle \mathsf e_1^\star, \dots, \mathsf e_n^\star$ (wyżej: $\scriptstyle \varphi_1, \dots, \varphi_n$). Wspomniane formy liniowe $\scriptstyle M \to R$ wyznaczone są za pomocą warunków:

$\mathsf e_i^\star(\mathsf e_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } i = j, \\ 0 & \mbox{dla } i \ne j, \end{cases}$

gdzie $\scriptstyle \delta_{ij}$ jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność

W powyższym przypadku izomorfizm między $\scriptstyle M^\star$ a $\scriptstyle M$ zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem $\scriptstyle M^{\star\star} = \left(M^\star\right)^\star,$ nazywanym modułem dwukrotnie dualnym, do modułu $\scriptstyle M.$

Element $\scriptstyle M^{\star\star}$ jest przekształceniem liniowym $\scriptstyle M^\star \to R.$ Obliczenie wartości dla dowolnego elementu $\scriptstyle \mathsf m \in M$ jest przekształceniem $\scriptstyle M^\star \to R,$ które jest liniowe,

$(\varphi + \psi)(\mathsf m) = \varphi(\mathsf m) + \psi(\mathsf m) \quad \mbox{oraz} \quad (r\varphi)(\mathsf m) = r \varphi(\mathsf m),$

wprost z definicji. Niech $\scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m\colon \varphi \mapsto \varphi(\mathsf m)$ będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy $\scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m \in M^{\star\star}.$ Przekształcenie $\scriptstyle M \to M^{\star\star}$ dane wzorem $\scriptstyle \mathsf m \mapsto \mathrm{ev}_\mathsf m$ jest addytywne, gdyż

$\mathrm{ev}_{\mathsf m + \mathsf m'}(\varphi) = \varphi(\mathsf m + \mathsf m') = \varphi(\mathsf m) + \varphi(\mathsf m') = \mathrm{ev}_\mathsf m(\varphi) + \mathrm{ev}_{\mathsf m'}(\varphi) = (\mathrm{ev}_\mathsf m + \mathrm{ev}_{\mathsf m'})(\varphi),$

czyli $\scriptstyle \mathrm{ev}_{\mathsf m + \mathsf m'} = \mathrm{ev}_\mathsf m + \mathrm{ev}_{\mathsf m'}$ (kluczowe jest, iż elementy $\scriptstyle M^\star$ są addytywne!); podobnie $\scriptstyle \mathrm{ev}_{c\mathsf m} = c\mathrm{ev}_\mathsf m,$ co oznacza, że odwzorowanie $\scriptstyle \mathsf m \mapsto \mathrm{ev}_\mathsf m$ jest przekształceniem liniowym $\scriptstyle M \to M^{\star\star}$ dla dowolnego modułu $\scriptstyle M$ – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli $\scriptstyle M$ jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne $\scriptstyle M \to M^{\star\star}$ jest izomorfizmem, które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą $\scriptstyle M^{\star\star}$ dualną do bazy dualnej $\scriptstyle (\mathsf e_i^\star)$ modułu dualnego $\scriptstyle M^\star$ jest baza $\scriptstyle (\mathsf e_i),$ istotnie:

$\mathrm{ev}_{\mathsf e_i}(\mathsf e_j^\star) = \mathsf e_j^\star(\mathsf e_i) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } i = j, \\ 0 & \mbox{dla } i \ne j. \end{cases}$

Moduły $\scriptstyle M,$ dla których istnieje izomorfizm $\scriptstyle M \to M^{\star\star}$ (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne

Niech $\scriptstyle \mathrm L\colon M \to N$ będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na $\scriptstyle M$ w formy liniowe na $\scriptstyle N,$ mianowicie: jeśli $\scriptstyle \varphi \in N^\star,$ to $\scriptstyle \varphi \circ \mathrm L \in M^\star.$ Odwzorowanie $\scriptstyle \mathrm L^\star\colon N^\star \to M^\star$ dane wzorem

$\mathrm L^\star(\varphi) = \varphi \circ \mathrm L$

jest liniowe – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do $\scriptstyle \mathrm L$.

Przekształcenie $\scriptstyle (\cdot)^\star\colon \mathrm{Hom}(M, N) \to \mathrm{Hom}\left(N^\star, M^\star\right),$ nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem $\scriptstyle \mathrm L \mapsto \mathrm L^\star$ również jest liniowe, a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli $\scriptstyle \mathrm L_1\colon M \to N$ oraz $\scriptstyle \mathrm L_2\colon N \to P$ są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne $\scriptstyle P^\star \to M^\star$ do złożenia $\scriptstyle \mathrm L_2 \circ \mathrm L_1\colon M \to P$ dane jest wzorem $\scriptstyle (\mathrm L_2 \circ \mathrm L_1)^\star = \mathrm L_1^\star \circ \mathrm L_2^\star$. Wynika stąd, że jeżeli $\scriptstyle \mathrm L\colon M \to N$ jest izomorfizmem modułów, to $\scriptstyle \mathrm L^\star\colon N^\star \to M^\star$ jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto $\scriptstyle \left(\mathrm L^\star\right)^{-1} = \left(\mathrm L^{-1}\right)^\star$.

Jeśli $\scriptstyle M, N$ są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie $\scriptstyle (\cdot)^\star$ jest izomorfizmem, a każde przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm L\colon M \to N$ można utożsamiać z $\scriptstyle \mathrm L^{\star\star}\colon N^{\star\star} \to M^{\star\star}$ poprzez izomorfizm naturalny. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio $\scriptstyle E = (\mathsf e_1, \dots, \mathsf e_m)$ oraz $\scriptstyle F = (\mathsf f_1, \dots, \mathsf f_n),$ przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno $\scriptstyle E^\star = (\mathsf e_1^\star, \dots, \mathsf e_m^\star)$ oraz $\scriptstyle F^\star = (\mathsf f_1^\star, \dots, \mathsf f_m^\star),$ to macierze $\scriptstyle \mathbf L = \scriptstyle \mathrm M(\mathrm L)_E^F$ typu $\scriptstyle n \times m$ oraz $\scriptstyle \mathbf L^\star = \mathrm M(\mathrm L^\star)_{F^\star}^{E^\star}$ typu $\scriptstyle m \times n$ reprezentujące $\scriptstyle \mathrm L$ i $\scriptstyle \mathrm L^\star$ w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej.

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem $\scriptstyle R,$ kolejno $\scriptstyle (c\mathbf A + d\mathbf B)^\mathrm T = c\mathbf A^\mathrm T + d\mathbf B^\mathrm T,$ $\scriptstyle (\mathbf{AB})^\mathrm T = \mathbf B^\mathrm T \mathbf A^\mathrm T,$ $\scriptstyle (c\mathbf I)^\mathrm T = c\mathbf I^\mathrm T$ oraz $\scriptstyle (\mathbf A^{-1})^\mathrm T = (\mathbf A^\mathrm T)^{-1}$ dla dowolnych macierzy $\scriptstyle \mathbf A, \mathbf B,$ dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli $\scriptstyle \mathrm L$ jest „na”, to $\scriptstyle \mathrm L^\star$ jest „1-1”. Jeśli $\scriptstyle \mathrm L$ jest różnowartościowe, to $\scriptstyle M$ można postrzegać jako podmoduł $\scriptstyle N,$ tzn. $\scriptstyle M \simeq \mathrm L(M) \subseteq N;$ dla $\scriptstyle \varphi \in N^\star$ przekształcenie $\scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi) = \varphi \circ \mathrm L$ jest z tego punktu widzenia zawężeniem $\scriptstyle \varphi$ do podmodułu $\scriptstyle \mathrm L(M) \subseteq N.$ Fakt, iż odwzorowanie $\scriptstyle \mathrm L^\star$ jest „na” oznacza, że każda forma liniowa $\scriptstyle \psi\colon M \to R$ jest postaci $\scriptstyle \varphi \circ \mathrm L,$ co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm L(M) \to R$ można przedłużyć do przekształcenia liniowego $\scriptstyle N \to R,$ a więc $\scriptstyle N$ ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu $\scriptstyle \mathrm L(M) \subseteq N$ przedłużają się do elementów modułu dualnego do $\scriptstyle N.$ W ogólności własność ta nie zachodzi; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – $\scriptstyle R$ jest ciałem: niech $\scriptstyle M, N$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $\scriptstyle K,$ wtedy jeśli przekształcenie $\scriptstyle \mathrm L\colon M \to N$ jest „1-1”, to $\scriptstyle \mathrm L^\star$ jest „na” – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steiniza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli $\scriptstyle \mathrm L\colon M \to N$ dla modułów $\scriptstyle M, N$ jest „1-1”, a $\scriptstyle \mathrm L(M)$ jest składnikiem prostym $\scriptstyle N,$ to $\scriptstyle \mathrm L^\star$ jest „na”.

Przestrzenie liniowe

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa $\scriptstyle V$ jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

$\dim_K V < \dim_K V^\star < \dim_K V^{\star\star},$

co oznacza, że w ogólności $\scriptstyle V$ nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną $\scriptstyle V^{\star\star}$ (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne $\scriptstyle V \to V^{\star\star}$ jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe $\scriptstyle V$ nad ciałami liczb rzeczywistych $\scriptstyle \mathbb R$ lub zespolonych $\scriptstyle \mathbb C.$ Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną $\scriptstyle V'$ definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na $\scriptstyle V,$ które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna $\scriptstyle V'$ jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna $\scriptstyle V^\star$ i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi $\scriptstyle V' = V^\star,$ gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na $\scriptstyle V.$

Przykłady

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej $\scriptstyle \mathbb R^n$ są rzuty na współrzędne standardowe:

$c_1 \mathbf e_1 + \dots + c_n \mathbf e_n \mapsto c_i.$

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor $\scriptstyle \mathbb R^n$ daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego $\scriptstyle \mathbf v \in \mathbb R^n$ dana będzie forma $\scriptstyle \varphi_\mathbf v\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ wzorem

$\varphi_\mathbf v(\mathbf w) = \mathbf v \cdot \mathbf w = v_1 w_1 + \dots + v_n w_n.$

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc $\scriptstyle \mathbf v$ będące wektorami bazy standardowej $\scriptstyle \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n.$ Izomorfizm $\scriptstyle \mathbb R^n \simeq \left(\mathbb R^n\right)^\star$ ustala przekształcenie $\scriptstyle \mathbf v \mapsto \varphi_\mathbf v,$ tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem $\scriptstyle R^n$ (wystarczy wyżej zamienić „wektor” $\scriptstyle \mathbf u$ na „element” $\scriptstyle \mathsf u$ oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności $\scriptstyle R^\star = \mathrm{Hom}(R, R)$ jest izomorficzny z $\scriptstyle R$ w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe $\scriptstyle R \to R$ jest postaci $\scriptstyle \varphi_a(r) = ar$ dla danego $\scriptstyle a \in R$.

Niech $\scriptstyle R = \mathbb Z,$ tj. rozważane $\scriptstyle R$-moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej $\scriptstyle A$ jej $\scriptstyle \mathbb Z$-dualną do niej jest $\scriptstyle A^\star = \mathrm{Hom}(A, \mathbb Z).$ Jeśli $\scriptstyle A = \mathbb Z^n,$ to $\scriptstyle A^\star$ można utożsamiać z $\scriptstyle A$ za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli $\scriptstyle A = \mathbb Q$ będzie traktowana jako $\scriptstyle \mathbb Z$-moduł, to $\scriptstyle \mathbb Q^\star = \mathrm{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Z)$ jest trywialny; traktując z kolei $\scriptstyle \mathbb Q$ jako przestrzeń $\scriptstyle \mathbb Q$-liniową otrzymuje się nietrywialną $\scriptstyle \mathbb Q^\star = \mathrm{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Q)$ – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli $\scriptstyle A$ jest skończoną grupą abelową, to jej $\scriptstyle \mathbb Z$-dualna jest zerowa; przykładowo: jeśli $\scriptstyle A = \mathbb Z \oplus (\mathbb Z/2\mathbb Z),$ to $\scriptstyle A^\star \simeq \mathbb Z^\star \oplus (\mathbb Z/2\mathbb Z)^\star = \mathbb Z^\star,$ a ponieważ $\scriptstyle \mathbb Z^\star \simeq \mathbb Z$ z pierwszego przykładu, to $\scriptstyle A$ składa się z funkcji $\scriptstyle f_k(x, y) = kx$ dla różnych $\scriptstyle k \in \mathbb Z$ (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech $\scriptstyle R$ będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków $\scriptstyle K,$ a $\scriptstyle I$ będzie ideałem w $\scriptstyle R.$ Wówczas $\scriptstyle I^\star = \mathrm{Hom}(I, R)$ można interpretować jako $\scriptstyle \{c \in K\colon cI \subseteq R\}$. Jeżeli $\scriptstyle R = \mathbb Z[X],$ zaś $\scriptstyle I = (2, X)$ jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ $\scriptstyle 2, X$ są w niej względnie pierwsze, to

$I^\star = \bigl\{f \in \mathbb Q(X)\colon fI \subseteq R\bigr\} = \bigl\{f \in \mathbb Q(X)\colon 2f \in \mathbb Z[X] \mbox{ i } Xf \in \mathbb Z[X]\bigr\} = \mathbb Z[X],$

tj. jedynymi przekształceniami $\scriptstyle \mathbb Z[X]$-liniowymi $\scriptstyle (2, X) \to \mathbb Z[X]$ są mnożenia $\scriptstyle h \mapsto gh$ dla $\scriptstyle g \in \mathbb Z[X].$

Niech $\scriptstyle R = \mathbb R,$ a $\scriptstyle M = N = \mathbb C;$ baza dualna $\scriptstyle \{f_1, f_2\}$ przestrzeni liniowej $\scriptstyle \mathbb C^\star$ do bazy standardowej $\scriptstyle \{1, i\}$ przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R$-liniowej $\scriptstyle \mathbb C$ jest postaci $\scriptstyle \{\mathrm{Re}, \mathrm{Im}\}$. Niech odwzorowanie $\scriptstyle \mathrm L\colon \mathbb C \to \mathbb C$ dane będzie wzorem $\scriptstyle \mathrm L(z) = (2 + i)z + \overline z;$ jest ono $\scriptstyle \mathbb R$-liniowe, przy czym $\scriptstyle \mathrm L(1) = 3 + i$ oraz $\scriptstyle \mathrm L(i) = -1 + i.$ W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) $\scriptstyle \mathbb C$ przekształcenie $\scriptstyle \mathrm L$ reprezentowane jest za pomocą macierzy $\scriptstyle \left[\begin{smallmatrix} 3 & -1 \\ 1 & \ 1 \end{smallmatrix}\right].$ Macierzą $\scriptstyle \mathrm L^\star$ w bazie $\scriptstyle \{\mathrm{Re}, \mathrm{Im}\}$ przestrzeni $\scriptstyle \mathbb C^\star$ jest macierz $\scriptstyle \left[\begin{smallmatrix} \ 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ transponowana do macierzy odwzorowania $\scriptstyle \mathrm L$ (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli $\scriptstyle R = \mathbb R,$ zaś $\scriptstyle M = \mathbb R[X]$ oraz $\scriptstyle N = \mathbb R^2,$ a ponadto $\scriptstyle \mathrm L\colon M \to N$ dane jest wzorem $\scriptstyle \mathrm L\displaystyle(\scriptstyle f(X)\displaystyle) = \displaystyle(\scriptstyle f(0), f(1)\displaystyle),$ to odwzorowanie $\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ dane wzorem $\scriptstyle \varphi(x, y) = 2x + 3y$ należy do przestrzeni dualnej do $\scriptstyle \mathbb R^2,$ a złożenie $\scriptstyle \varphi \circ \mathrm L,$ które przeprowadza $\scriptstyle f(X)$ na $\scriptstyle 2f(0) + 3f(1)$ należy do przestrzeni dualnej do $\scriptstyle \mathbb R[X]$ – złożeniem tym jest $\scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi).$

Niech $\scriptstyle K$ będzie ciałem skończonym (np. $\scriptstyle \mathbb Z/p\mathbb Z$ dla liczby pierwszej $\scriptstyle p$), a zbiór $\scriptstyle V = \bigoplus K$ będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $\scriptstyle K.$ Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór $\scriptstyle V^\star \simeq \prod (K^\star)$ jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia $\scriptstyle \bigoplus K \hookrightarrow \prod K$ jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: $\scriptstyle \left(\prod K\right)^\star \to\!\!\!\!\!\to \left(\bigoplus K\right)^\star = V^\star;$ w ten sposób $\scriptstyle \left(\prod K\right)^\star$ jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ $\scriptstyle K^\star \simeq K$ jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz $\scriptstyle V^{\star\star} \simeq \left(\prod K^\star\right)^\star \simeq \left(\prod K\right)^\star,$ to $\scriptstyle V^{\star\star}$ jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne $\scriptstyle V \to V^{\star\star}$ (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też

• para dualna, forma dwuliniowa

Bibliografia

• A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7. 
• H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.