Przestrzeń zupełna

Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, w której każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni.

Bardzo ważne w zastosowaniach jest następujące twierdzenie Cantora:

W przestrzeni zupełnej każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych

$F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset F_{n + 1} \supset \cdots$

o średnicach dążących do zera ma część wspólną niepustą

$\bigcap\limits_{n = 1}^\infty F_i \neq \varnothing$.

Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

Przykłady

• Prosta euklidesowa jest przestrzenią zupełną,
• Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
• Przedział otwarty $(0,1)$ z metryką euklidesową nie jest przestrzenią zupełną:

ciąg $a_n={1 \over n}$ jest w niej bowiem ciągiem Cauchy'ego, natomiast jego granica (równa zeru) do niej nie należy.

Powyższy przykład ukazuje również, iż zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym, ponieważ prosta i przedział $(0,1)$ są homeomorficzne.

• Przestrzenie Banacha, z określenia, są zupełnymi przestrzeniami unormowanymi. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Związek zupełności ze zwartością

Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona.