Przybliżenie Padé

Przybliżenia Padé funkcji tangens

Przybliżenia Padé funkcji wykładniczej

Przybliżenie Padé – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

Jej odkrywcą jest Henri Padé.

Definicja

Dla danej funkcji f i dwóch liczb naturalnych m, n ∈ N₀, przybliżeniem Padé rzędu (m, n) jest funkcja wymierna

$R_{m, n}(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m}{1+b_1 x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n}$

której pochodne równają się pochodnym f(x) do najwyższego możliwego rzędu

$f(0)=R(0)\,$

$f'(0)=R'(0)\,$

$f''(0)=R''(0)\,$

$\vdots\,$

$f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0).\,$

Ściślej i ogólniej funkcja wymierna $\rho$ jest przybliżeniem Padé rzędu $(k, n-k)$ formalnego szeregu potęgowego $g$ nad ciałem $F$, jeżeli:

$g = \sum_{i \in \mathbb{N}_0} g_i x^i \in F[[x]]$ ($g_i \in F$)

$\rho = \frac{r}{t}$

$r, t \in F[x]$

$x \nmid t$

$\frac{r}{t} \equiv g \mod x^n$ (równoważnie $r \equiv t g \mod x^n$)

$\deg r < k$

$\deg r \leq n-k$

Obliczanie

Jeżeli rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Taylora ma postać

$f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \cdots$

to współczynniki w przybliżeniu Padé spełniają układ równań

$a_i = \sum_{j=0}^i b_j \cdot c_{i-j}$ dla i = 0, 1, ..., m+n

Przy czym przyjmuje się, że

b₀ = 1

a_i = 0 dla i > m

b_i = 0 dla i > n

Bibliografia

1. Padé Approximant (ang.) w encyklopedii MathWorld
2. A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval

Linki zewnętrzne

• Module for Padé Approximation by John H. Mathews (ang.)
• Padé Approximants (ang.) by Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.