Przykłady przestrzeni liniowych

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. $K$ będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste $\mathbb R$ lub liczby zespolone $\mathbb C$. Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: $\{\mathbf 0\}$. Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc $\{\mathbf 0\}$ jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad $K$. Każda przestrzeń liniowa nad $K$ zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Ciało

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało $K$. Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka $K$ służy jako baza, tak więc $K$ jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad $K$. Dodatkowo $K$ ma tylko dwie podprzestrzenie: $\{\mathbf 0\}$ oraz samo $K$.

Przestrzeń współrzędnych

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$, przestrzeń wszystkich ciągów $n$-elementowych o wartościach z $K$ stanowi $n$-wymiarową przestrzeń liniową nad $K$ nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną $K^n$. Element $K^n$ zapisuje się

$\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$,

gdzie każdy $x_i \in K$. Działania na $K^n$ zdefiniowane są wzorami:

$\mathbf x + \mathbf y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n)$,

$\alpha\mathbf x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n)$,

$\mathbf 0 = (0, 0, \dots, 0)$,

$\mathbf{-x} = (-x_1, -x_2, \dots, -x_n)$.

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało $K$ liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych $\mathbb R^n$ lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych $\mathbb C^n$.

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa $K^n$ ma bazę kanoniczną:

$\mathbf e_1 = (1, 0, \dots, 0)$,

$\mathbf e_2 = (0, 1, \dots, 0)$,

$\vdots$

$\mathbf e_n = (0, 0, \dots, 1)$,

gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K$.

Nieskończona przestrzeń współrzędnych

Niech $K^\infty$ oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z $K$ takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element $K^\infty$ jako

$\mathbf x = (x_1, x_2, x_3, \dots)$,

to tylko skończenie wiele $x_i$ jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar $K^\infty$ jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów $\mathbf e_i$ zawierających $1$ na $i$-tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej $K$.

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z $K$, które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną $K^\mathbb N$ – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, $K^\mathbb N$ nie jest izomorficzna z $K^\infty$; w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy $K$. Warto zauważyć, że $K^\infty$ jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną $K^\infty$, ponieważ przekształcenie liniowe $T$ z $K^\infty$ w $K$ jest jednoznacznie określone przez jego wartości $T(\mathbf e_i)$ na elementach bazy $K^\infty$, a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowych

Rozpoczynając od $n$ lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Macierze

Niech $K^{m \times n}$ oznacza zbiór macierzy z elementami w $K$. Wówczas $K^{m \times n}$ jest przestrzenią liniową nad $K$. Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar $K^{m \times n}$ wynosi $mn$. Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianów

Pojedyncza zmienna

Zbiór wielomianów o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x]$. Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar $K[x]$ jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż $n$ otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze $n$.

Jedną z możliwych baz dla $K[x]$ jest złożona z wielomianów $1, x,\,x^2,\,x^3,\dots$: współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z $K[x]$ w nieskończoną przestrzeń współrzędnych $K^\infty$.

Wiele zmiennych

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x_1, x_2, \dots, x_r]$, gdzie $r$ oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjne

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, a $V$ dowolną przestrzenią liniową nad $K$. Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$ z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji $f,\,g$ i dowolnego skalara $\alpha$:

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$,

$(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$,

gdzie działania po prawej stronie są określone w $V$. Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest zwykle oznaczana $V^X$.

Jeżeli zbiór $X$ jest skończony, a $V$ skończeniewymiarowa, to $V^X$ ma wymiar $|X|^{\dim V}$, w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli $X$ jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Uogólnione przestrzenie współrzędnych

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z $X$ w $K$, które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową $K^X$.

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana $(K^X)_0$ i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli $X$ jest zbiorem liczb od $1$ do $n$, to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych $K^n$. Podobnie jeżeli $X$ jest zbiorem liczb naturalnych $\mathbb N$, to przestrzeń ta jest po prostu $K^\infty$.

Baza kanoniczna dla $(K^X)_0$ jest zbiorem funkcji $\{\delta_x | x \in X\}$ określonych wzorem

$\delta_x(y) = \begin{cases}1, & x = y \\ 0, & x \ne y \end{cases}$.

Wymiar $(K^X)_0$ jest więc równy mocy zbioru $X$. W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną $(K^X)_0$.

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta $|X|$ egzemplarzy $K$ (czyli jednej dla każdego punktu z $X$):

$(K^X)_0 = \bigoplus_{x \in X}~K$.

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym $|X|$ egzemplarzy $K$, który dałby pełną przestrzeń funkcyjną $K^X$.

Przekształcenia liniowe

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech $\operatorname{L}(V, W)$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad $K$). Wówczas Niech $\operatorname{L}(V, W)$ jest podprzestrzenią

$W^V$, ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że $\operatorname{L}(K^n, K^m)$ może być identyfikowane z przestrzenią macierzy $K^{m \times n}$ w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach $V$ oraz $W$ przestrzeń $\operatorname{L}(V, W)$ może być także identyfikowana z $K^{m \times n}$. Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłe

Jeżeli $X$ jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy $[0, 1]$, możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z $X$ w $\mathbb R$. Jest to podprzestrzeń liniowa $\mathbb R^X$, ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Równania różniczkowe

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z $\mathbb R \to \mathbb R$ składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią $\mathbb R^\mathbb R$, o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli $(af + bg)^' = af^' + bg^'$, gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciała

Przypuśćmy, że $L$ jest podciałem $K$ (por. rozszerzenie ciała). Wówczas $K$ może być uważane za przestrzeń liniową nad $L$ przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z $L$ (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone $\mathbb C$ tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb R$. Podobnie liczby rzeczywiste $\mathbb R$ tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi $\mathbb Q$.

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$, to może być uważana również za przestrzeń liniową nad $L$. Wymiary są związane wzorem

$\dim_L V = \dim_K V \cdot \dim_L K$.

Na przykład $\mathbb C^n$, uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar $2n$.

Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy $K_q$, jednoznaczne, skończone ciało o $q$ elementach. $q$ musi być tutaj potęgą liczby pierwszej ($q = p^m, \quad p$ – pierwsza). Wtedy dowolna $n$-wymiarowa przestrzeń liniowa nad $K_q$ będzie mieć $q^n$ elementów. Liczba elementów $V$ również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych $(K_q)^n$.