Punkt regularny

Punkt regularny – w geometrii, punkt leżący na krzywej, taki że przez punkt ten przechodzi dokładnie jedna styczna. Wszystkie punkty regularne krzywej tworzą łuk regularny.

Teoria różniczkowania

W ogólnej teorii różniczkowania, przez punkt regularny rozumie się następujące pojęcie:

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha oraz odwzorowanie $G\colon X\to Y$ będzie różniczkowalne w punkcie $x_0 \in X$ takim, że $G(x_0) = 0$. Punkt $x_0$ nazywamy punktem regularnym zbioru $M = \{x\ \in X\colon\; G(x) = 0\}$, jeżeli pochodna odwzorowania $G$ w punkcie $x_0$ jest suriekcją $X \to Y$.

Szczególne przypadki

• Jeśli $Y=\mathbb{R}$, to punkt $x_0\in M\subseteq X$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy $G^\prime(x_0)\neq 0$.

• Jeśli natomiast $X = \mathbb R^m, Y = \mathbb R^n, m \le n, G = (g_1, \ldots, g_n)$, to punkt $x_0 \in M \subseteq X$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

$\operatorname{r}\left[\frac{\partial g_i}{\partial x_j}(x_0)\right]_{{1\le i \le n} \atop {1\le j \le m}} = m$.

Zobacz też

• przestrzeń styczna
• punkt osobliwy