Punkt skupienia

Punkt $p$ przestrzeni topologicznej jest punktem skupienia zbioru $A$, gdy dowolny zbiór otwarty zawierający $p$ zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $p$, tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu $p$ ze zbiorem $A$ jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru.

Własności

• Punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru $A\setminus\{p\}$.

• W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru $A\setminus\{p\}$.

Związane pojęcia

• Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem, punkt $p$ należący do zbioru $A$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru $A$ różnych od $p$.

• Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu $p$ znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru $A$, to punkt $p$ nazywamy punktem kondensacji zbioru $A$.

Przykłady

• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych.
• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru zbioru liczb wymiernych.
• Punkty skupienia przedziału (0, 1) to wszystkie punkty tego przedziału, 0 oraz 1. Wszystkie one są punktami kondensacji przedziału (0, 1).
• Punkty skupienia przedziału (0, 1] to wszystkie punkty wewnętrzne tego przedziału, 0 oraz należący również do przedziału punkt 1. Jak wyżej, wszystkie te punkty są punktami kondensacji.
• Zbiór {0, 1, 2} nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
• Jedynym punktem skupienia zbioru {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} jest 0, pozostałe są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
• Jedynymi punktami skupienia zbioru {1/4, 3/4, 1/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 6/7,...} są 0 i 1, pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz też

• kres dolny i górny
• zbiór doskonały