Punkt stały

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi. Formalnie:

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie zbiorem oraz $f\colon X\to X$ . Punkt $x\in X$ nazywamy punktem stałym odwzorowania $f$ , jeśli $f(x)=x$ . Zbiór punktów stałych oznaczamy $\operatorname{Fix}(f)$ , tj. $\operatorname{Fix}(f)=\{x\in X\colon\; f(x)=x\}$ .

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu,

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech $X$ będzie przestrzenią liniową, (np. $\mathbb{R}^n$ lub $\mathbb{C}^n$ ) oraz $F\colon X\to X$ . Punkt $x\in X$ jest rozwiązaniem rozwiązaniem równania $F(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania $f=\mbox{id}-F$ .