Punkty Brocarda

Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów.

Punkty Brocarda są to szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard, (1845-1922), sformułował następujące zdanie:

W trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty ω, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości: $\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB$. Punkt P nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta ABC. Kąt ω jest kątem Brocarda trójkąta ABC.

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta ABC: punkt Q, dla którego odcinki AQ, BQ, CQ, wg kolejności, z bokami b, c, a tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości: $\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC$.

Ciekawy jest fakt, iż temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt $\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB$ jest równy kątowi $\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC$.

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ABC! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta ABC jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie ACB.

Konstrukcja

Przykład:

1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty A, B, C.
2. Kreślimy prostą c przez punkty A i B, prostą a przez punkty B i C oraz prostą b przez punkty C i A.
3. Kreślimy symetralną boku AB i oznaczamy ją przez c'.
4. Kreślimy prostą c" prostopadłą do prostej a przez punkt B.
5. Punkt przecięcia się symetralnej c' i prostej c" oznaczamy O1.
6. Z punktu O1 kreślimy okrąg o promieniu |O1 B|. Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt A i jest styczny do prostej a.
7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty C i B, styczny do prostej b;

a następnie okrąg przez punkty A i C, styczny do prostej c.

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt - pierwszy punkt Brocarda trójkąta ABC.

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta Brocarda

Kiedy $A_\Delta$ oznaczymy powierzchnię trójkąta ABC, wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

• $\operatorname{tg} \omega = \frac {4A_\Delta}{a^2+b^2+c^2}$.
• $\operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.\,$
• $\sin \omega = \frac{2A_\Delta}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}$

Dla każdego trójkąta: $\omega \leqslant 30^\circ$.

Właściwości

• Oba punkty Brocarda trójkąta ABC są ze sobą sprzężone izogonalnie.
• Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.