Róg Gabriela

Model rogu Gabriela

Róg Gabriela (lub trąbka Torricellego) – bryła geometryczna, opisana przez Evangelistę Torricellego, o nieskończonej powierzchni zewnętrznej, ale skończonej objętości. Nazwą nawiązuje do archanioła Gabriela, który ogłosi Sąd Ostateczny zadęciem w róg.

Konstrukcja

Rzut boczny rogu Gabriela

Powierzchnię obrotową powstałą w wyniku obrotu wokół osi OX wykresu funkcji

$f(x)= \frac{1}{x}$

w przedziale x ≥ 1 nazywa się rogiem Gabriela. Dziedzina funkcji $f$ jest tak dobrana aby można było uniknąć asymptoty w punkcie x = 0.

Objętość a pole powierzchni

Używając rachunku różniczkowego i całkowego można wykazać, że objętość $V(a)$ i pole $A(a)$ powierzchni obrotowej, powstałej poprzez obrót wykresu funkcji $f$ w przedziale 1 ≤ x ≤ a, gdzie $a>1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą wynoszą odpowiednio

$V(a) = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)$

$A(a) = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a$

Granica funkcji $V(a)$ przy $a\to \infty$ istnieje i jest skończona, dokładniej:

$\lim_{a \to \infty}V(a)=\lim_{a \to \infty} \pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi$

Oznacza to, że róg Gabriela ma objętość równą $\pi$.

Funkcja $A(a)$ ma granicę równą $\infty$ przy $a\to \infty$, tzn.

$\lim_{a \to \infty}A(a)=\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a = \infty$.

Z powyższego wynika, że pole powierzchni rogu Gabriela jest nieskończone. Odkrycie opisanych wyżej własności rogu Gabriela nastąpiło w wyniku zastosowania zasady Cavalieriego, jeszcze przed pojawieniem się rachunku różniczkowego i całkowego.

Paradoks malarzy

Istnienie takiej bryły uznano za paradoks, ponieważ obracając nieskończoną krzywą dookoła osi x uzyskuje się skończoną objętość. Często jest on nazywany paradoksem malarzy, ponieważ do pomalowania takiej powierzchni potrzebna jest nieskończona ilość farby, ale wystarczy skończona ilość farby, aby napełnić naczynie o takim kształcie.

Paradoks powstaje, ponieważ długość "pierścieni" całkowanych w celu znalezienia powierzchni jest o jeden wymiar mniejsza niż powierzchnia "plastrów" całkowanych w celu znalezienia objętości całkowitej. Ponieważ $x \to \infty$, to:

$\pi\frac{1}{x^2} \ll 2\pi\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}$

Oznacza to, że z rosnącym x numeryczna wielkość "plastrów" (odpowiadających za objętość) jest znacznie mniejsza niż "pasków" (odpowiadających za pole). Po całkowaniu (jak pokazano powyżej) wynika, że objętość zmierza, ale nigdy nie przekracza wartości $\pi$.

Zobacz też

• Hiperbola
• Pseudosfera

Linki zewnętrzne

• Demonstracja (animacja) rogu Gabriela
• Róg Gabriela w MathWorld