Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne - termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania.

Niech dane będzie równanie różniczkowe liniowe, rzędu $n\,$-tego:

$a_n x^{(n)}+a_{(n-1)} x^{(n-1)}+...+a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0\,$

w którym $x^{(n)}\,$ oznacza $n\,$-tą pochodną zmiennej $t\,$. Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci $e^{rt}\,$ to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania otrzymuje się równanie z współczynnikiem $r\,$:

$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots+a_1r+a_0=0$

które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian

$W(r)=r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots+a_1r+a_0$

nazywa się wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Podobnie w teorii sterowania gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie s równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

$G(s)=\frac{b_ns^m+\ldots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0}$

to równanie charakterystyczneukładu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

$s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0=0$