Równanie liniowe

Równanie liniowe – równanie algebraiczne stopnia pierwszego.

Poniższe równania są liniowe:

• $2x-3y+1=3\,$
• $x+2y+1=2x\,$
• $-4x-3=x+1\,$
• $6x+y-z+1=3x+z\,$

Poniższe równania nie są liniowe:

• $2^x-x=3\,$
• $x^2-x-1=2x\,$
• $\sin x-2x-1=2\,$
• $|x|-1=0\,$
• $2x-3y^2+1=3\,$

Można też mówić o równaniu liniowym ze względu na wybrane niewiadome – oznacza to, że niewiadome te występują w równaniu w potędze 1. Na przykład, równanie $2x-3y^2+1=3\,$ jest liniowe ze względu na $x\,$, lecz nie jest liniowe ze względu na $y\,$.

Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci:

$ax=b,\;$

gdzie $x$ jest niewiadomą, $a$ i $b$ są pewnymi wiadomymi liczbami (lub innymi elementami ciała, w jakim rozpatruje się równanie). Jeśli $a\not=0$, to takie równanie zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek (inaczej mówiąc, jedno rozwiązanie), który można znaleźć za pomocą wzoru $x=b/a$. Jeśli $a=b=0$, to wszystkie liczby (elementy ciała) są pierwiastkami tego równania. Jeśli $a=0$, $b\not=0$, to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Należy jednak powiedzieć, że jeżeli $a=0$, to stopień tego równania jest nie pierwszym, a zerowym albo w ogóle nieistniejącym, co nie odpowiada podanej wyżej definicji równania liniowego; jednak często takie równania również są traktowane jako liniowe; zaś przyjmując powyższą definicję, można powiedzieć, że równanie liniowe z jedną niewiadomą zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek.

Równanie liniowe, jakie posiada więcej niż jedną niewiadomą, w typowym przypadku ma nieskończenie wiele rozwiązań i nigdy nie może być oznaczonym (czyli mieć dokładnie jedno rozwiązanie). Jakie przypadki przy jakich warunkach są możliwe, można badać wychodząc z teorii układów równań liniowych, ponieważ równanie można rozpatrywać jako układ o jednym równaniu.

Zobacz też

• równanie algebraiczne
• układ równań liniowych
• funkcja liniowa
• nierówność liniowa