Równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Podstawowa definicja

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech $k \geqslant 1$ będzie liczbą całkowitą, a $U\,$ otwartym podzbiorem $\mathbb R^n$. Równanie postaci:

$F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0$, gdzie $x \in U$

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym $k$-tego rzędu.

Funkcja $F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R$ jest dana, natomiast $u\colon U \to \mathbb R$ jest niewiadomą.

$D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}$,

gdzie $\alpha\,$ jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

Historia

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. D’Alamberta. Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określajace jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750-1830) tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego. P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu. Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard , J. Hadamard, E. Goursat. Z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego. Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.

Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.

Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że $t \geqslant 0$ oraz $x \in U$, gdzie $U\,$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$. Ponadto $Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n})$ oznacza gradient funkcji $u\,$ względem zmiennych przestrzennych $x = (x_1,\ldots, x_n)\,$. Zmienną $t\,$ interpretujemy jako czas.

Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

$\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_2(x_1, \ldots, x_n)}{X_1(x_1, \ldots, x_n)}$ dla $2\leqslant k \leqslant n$ (*)

nazywamy funkcje

$c_k=\psi_k(x_1, \ldots, x_n)$ dla $1\leqslant k\leqslant n-1$,

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje $X_1, \ldots, X_n$ są klasy $C^1$ w pewnym obszarze $D\subseteq \mathbb{R}^n$ oraz $X_1\neq 0$ wtedy każde rozwiązanie $u(x_1, \ldots, x_n)$ równania

$X_1(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0$

można zapisać w postaci

$u(x_1, \ldots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldots, \psi_{n-1})$, gdzie $\psi_1,\ldots, \psi_{n-1}$ są całkami pierwszymi układu (*) a $\Psi$ jest dowolną funkcją klasy $C^1$ (n-1)-zmiennych.

Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe

1. Równanie Laplace'a: $\Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0$
2. Liniowe równanie transportu: $u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0$
3. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): $u_t - \Delta u = 0\,$
4. Równanie Schrödingera: $i u_t + \Delta u = 0\,$
5. Równanie falowe: $u_{tt} - \Delta u = 0\,$

Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

1. Nieliniowe równanie Poissona: $-\Delta u = f(u)\,$
2. Równanie Hamiltona-Jacobiego: $u_t + H(Du,x) = 0\,$
3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: $u_t - \Delta u = f(u)\,$

Zobacz też

• Równanie różniczkowe zwyczajne

Bibliografia

• Janus J., Myjak J.: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, 2008.
• Strzelecki P.: Krótkie Wprowadzenie do Równań Różniczkowych Cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2006.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.