Równość (matematyka)

Równość to relacja, która jest relacją równoważności. Jest to zatem relacja zwrotna, przechodnia i symetryczna. Ważną cechą relacji równości $a=b$ jest to, że dla dowolnej funkcji $f$ zachodzi:

$a = b \implies f(\dots,a,\dots) = f(\dots,b,\dots)$

Aksjomatyzacja pojęcia równości generuje bardzo dużo aksjomatów – potrzebujemy trzech aksjomatów: zwrotności, przechodniości i symetrii, oraz przede wszystkim aksjomatu dla każdej pozycji każdej relacji i funkcji w naszej algebrze. Na przykład, jeśli system zawiera $f(a,b)$ i $g(a,b,c)$, to dodanie do niego równości wymaga dodania następujących aksjomatów:

$a = a\,$

$a = b \implies b = a$

$a = b \and b = c \implies a = c$

$a = b \implies f(a,x) = f(b,x)$

$a = b \implies f(x,a) = f(x,b)$

$a = b \implies g(a,x,y) = g(b,x,y)$

$a = b \implies g(x,a,y) = g(x,b,y)$

$a = b \implies g(x,y,a) = g(x,y,b)$

Nie jest to efektywne. Dlatego też, mimo, że można traktować równość jak normalną relację, zwykle traktuje się ją specjalnie. Przykładowo, systemy automatycznego dowodzenia twierdzeń z równością, używają paramodulacji obok (lub zamiast) zwykłej rezolucji.

Zobacz też

• znak równości