Równoległościan wielowymiarowy

Równoległościan wielowymiarowy – w geometrii i algebrze liniowej uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe (w tym afiniczne i euklidesowe) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz afiniczny kostki wielowymiarowej.

Niech $\scriptstyle k \leqslant n.$ Jeśli $\scriptstyle \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k$ są liniowo niezależnymi wektorami $\scriptstyle n$-wymiarowej przestrzeni liniowej $\scriptstyle V,$ to $\scriptstyle k$-wymiarowym równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór

$\mathrm R(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k) = \left\{\sum_{i=1}^k t_i\mathbf x_i\colon 0 \leqslant t_i \leqslant 1\right\}.$

Objętość

Jeśli $\scriptstyle V$ jest unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny), to można określić $\scriptstyle m$-wymiarową objętość równoległościanu $\scriptstyle \mathbf R(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k)$ jako

$\bigl|\mathrm R(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k)\bigr|_m = \begin{cases} 0, & \mbox{dla } m>k, \\ \sqrt{G(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k)}, & \mbox{dla } m = k, \\ \infty, & \mbox{dla } m < k, \end{cases}$

gdzie $\scriptstyle G(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k)$ oznacza wyznacznik Grama wektorów $\scriptstyle \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k.$

Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest jest zgodna z miarą Jordana, czy miarą Lebesgue'a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego). Objętość $\scriptstyle m$-wymiarowa równoległościanu $\scriptstyle m$-wymiarowego w dowolnej przestrzeni $\scriptstyle V$ definiuje się za pomocą wyznacznika, który może być postrzegany jako jego zorientowana objętość.

Zobacz też

• przedział wielowymiarowy