Rachunek różnicowy

Rachunek różnicowy jest analogią do rachunku różniczkowego w matematyce dyskretnej.

W przypadku funkcji ciągłych $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pochodną definiuje się jako $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. W matematyce dyskretnej jednak operujemy na funkcjach $F:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Dla takich funkcji czymś zupełnie analogicznym jest operator różnicowy - $\Delta$ z tym, że w przypadku funkcji $F:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ do wartości $f(a)\;$ możemy się zbliżyć najbliżej tylko jako $f(a+1)\;$. Dlatego $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\;$.

Niektóre analogie między rachunkiem różnicowym a rachunkiem różniczkowym

W rachunku różnicowym odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tzw. potęga krocząca ubywająca $x^{\underline{m}}$ lub przyrastająca $x^{\overline{m}}$. Działanie operatora $\Delta$ na funkcję $x^{\underline{m}}$ daje w wyniku:

$\Delta(x^{\underline{m}}) = (x + 1)^{\underline{m}} - x^{\underline{m}} = mx^{\underline{m - 1}}$.

Jest to wzór analogiczny do $D(x^m)=mx^{m-1}\;$

Operator $\Delta$, podobnie jak operator $D$ jest przekształceniem liniowym:

$\Delta(f+g)=\Delta(f)+\Delta(g)\;$

$\Delta(cf)=c \Delta(f)\;$

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania - jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

$\sum x^{\underline{m}} \delta x = \begin{cases}\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1} \quad m \neq -1\\H_x \quad m = -1\end{cases}$

co przypomina wzór na całkę $\int x^m dx$.

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Bibliografia

1. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.