Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów.

Funkcjonały są to odwzorowania określone na przestrzeniach funkcyjnych, których przeciwdziedzinami jest zazwyczaj zbiór liczb rzeczywistych. Szukanie ekstremów funkcjonałów jest działaniem zbliżonym (w sensie bliskości ideowej) do poszukiwania ekstremów funkcji rzeczywistych.

Przykładowe zagadnienie, rozwiązywane w rachunku wariacyjnym, to zadanie o brachistochronie, polegające na poszukiwaniu takiej krzywej, po której czas staczania się posiadającego masę punktu materialnego (pod wpływem działania siły ciężkości) jest najkrótszy.

Rozwiązaniami zagadnień wariacyjnych są funkcje.

Podstawowym wzorem rachunku wariacyjnego jest równanie Eulera-Lagrange'a drugiego rodzaju

$F_y - \frac{d}{dx}F_{y'} = 0$

określające warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału najprostszego

$v[y(x)]=\int\limits_a^b F(x,y,y') dx$

Rozwiązania tego równania nazywa się ekstremalami. Funkcjonał $v$ może przyjmować ekstremum jedynie na nich.

W przypadku gdy człon $F_y$ jest równy zeru, tzn. funkcja bazowa nie zależy w sposób jawny od y, to:

$\frac{\partial F}{\partial y'}=const$

Natomiast, gdy $F$ nie zależy w sposób jawny od x, to równaniu Eulera-Lagrange'a odpowiada tożsamość Beltramiego:

$F - y'\frac{\partial F}{\partial y'} = const$

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które są w ogólności bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje również fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

W rachunku wariacyjnym stosuje się także nieanalityczne metody o charakterze przybliżonym np. metoda łamanych Eulera, metoda Ritza.

Zobacz też

• Równania Eulera-Lagrange'a