Rozdzielność

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Niech $\oplus$ i $\otimes$ będą symbolami pewnych działań w zbiorze $S$. Powiemy, że działanie $\otimes$ jest rozdzielne względem działania $\oplus$, jeżeli $\forall_{a,b,c \in S}$ zachodzą równości:

• $a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$,
• $(b \oplus c) \otimes a = (b \otimes a) \oplus (c \otimes a)$.

Można mówić o rozdzielności lewostronnej działania $\otimes$ względem $\oplus$, gdy spełniony jest jedynie pierwszy z warunków lub o rozdzielności prawostronnej, gdy spełniony jest wyłącznie drugi z warunków.

Działanie przemienne i jednostronnie rozdzielne jest rozdzielne obustronnie.

Przykłady

W arytmetyce liczb rzeczywistych:

• mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:

$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.

W teorii mnogości:

• operacja przecięcia zbiorów jest rozdzielna względem ich sumy:

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$,

• operacja sumy zbiorów zbiorów jest rozdzielna względem części wspólnej:

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.

W rachunku zdań:

• koniunkcja jest rozdzielna względem alternatywy:

$p \and (q \or r) = (p \and q) \or (p \and r)$,

• alternatywa jest rozdzielna względem koniunkcji:

$p \or (q \and r) = (p \or q) \and (p \or r)$.

Dodawanie liczb nie jest rozdzielne względem mnożenia:

$2 + (1 \cdot 1) \ne (2 + 1) \cdot (2 + 1)$.

Zobacz też

• algebra Boole'a
• łączność
• przemienność