Rozkład macierzy

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy A w postaci diagonalnej czyli

$A=P D P^{-1},\!$

gdzie

• D to macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,
• P to macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci Jordana czyli

$A=P D P^{-1},\!$

gdzie

• D to macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym,
• P to macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.

Jeśli macierz A jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych

Rozkład wartości osobliwych (nad $\mathbb{R}$) to przedstawienie macierzy A w postaci

$A=U \Sigma V^T,\!$

gdzie

• $\Sigma$ to macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
• U i V to macierze ortogonalne.

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb{C}$, to

$A=U \Sigma V^*,\!$

gdzie

• $\Sigma$ to macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
• U i V to macierze unitarne.

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU

Rozkład LU to przedstawienie macierzy A w postaci

$A=LU,\!$

gdzie

• L to dolna macierz trójkątna,
• U to górna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego

Rozkład Choleskiego (nad $\mathbb{R}$) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej A w postaci

$A=LL^T,\!$

gdzie

• L to dolna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego (nad $\mathbb{C}$) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej A w postaci

$A=LL^*,\!$

gdzie

• L to dolna macierz trójkątna.

Rozkład biegunowy

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy A w postaci

$A=U R,\!$

gdzie

• U to częściowa izometria,
• R to macierz dodatnio określona.

Zobacz też

• Macierz transponowana
• Sprzężenie hermitowskie