Rozkład według wartości osobliwych

Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD - z ang. Singular Value Decomposition)) to pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.

Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.

Teza

Każdą macierz rzeczywistą A można przedstawić w postaci rozkładu SVD:

$A = U \Sigma V^T,\!$

gdzie

• U i V - macierze ortonormalne (są one ortogonalne czyli $U^{-1}=U^T$, $V^{-1}=V^T$ oraz długość każdego wektora w macierzy jest równa 1),
• Σ - macierz diagonalna (przekątniowa), taka że $\Sigma = diag(\sigma_i)$, gdzie $\sigma_i$ - nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy A, zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.

Własności

Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze U oraz V, żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.

Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy A jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):

$|\det(A)| = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_n$

Zobacz też

• rozkład macierzy
• PCA - Principal Component Analysis
• metody numeryczne