Rozmaitość różniczkowa

Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej $C^1$ posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.

Definicja

Zbiór $M \subseteq \mathbb R^N$ jest rozmaitością różniczkową (klasy $C^1$ i wymiaru $n$, $0\leq n\leq N$), gdy:

• $\forall_{p \in M}$ istnieje w $\mathbb R^N$ otwarte otoczenie $U \ni p$ oraz zbiór otwarty $V \subseteq \mathbb R^n$ i
• homeomorfizm $\alpha: (U \cap M) \to V$ taki, że
• odwzorowanie $\alpha^{-1}: V \to U \cap M$ jest klasy $C^1$ i
• różniczka $D\alpha^{-1}(x)$ jest iniekcją dla każdego $x \in V$.

Funkcję $\alpha$ nazywamy mapą rozmaitości, zaś $\alpha^{-1}$ jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.

Klasy

W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy $C^1$ funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy $C^r$ nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^r$ dla $r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}$. Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy $C^0$, z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy $C^\omega$.

Zobacz też

• rozmaitość topologiczna,
• mapa,
• atlas.