Rozmaitość różniczkowalna

Przestrzeń topologiczną $\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots$, nazywamy rozmaitością $n-\$wymiarową, jeśli dla każdego punktu $x\in \mathbb{X}^{n}$ istnieje otwarte i spójne otoczenie $U\$, $x\in U \subset \mathbb{X}^{n}$, oraz homeomorfizm $\phi\colon U\to \phi(U)$ tego otoczenia $U\$ na otwarty zbiór $\phi(U)\$ przestrzeni wektorowej n-wymiarowej $\mathbb{R}^{n}$ nad ciałem $\mathbb{R}$ liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości $\mathbb{X}^{n}$. Rodzina $\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}$ map nazywa się atlasem rozmaitości $\mathbb{X}^{n}$, gdy dziedziny $U_l\$ homeomorfizmów $\phi_l\$ pokrywają rozmaitość $\mathbb{X}^{n}$:

$\mathbb{X}^{n}=\bigcup_{l \in I}U_l.$

(1)

Zbiór wszystkich map rozmaitości $\mathbb{X}^{n}$ nazywamy atlasem zupełnym $\Phi_0\$ rozmaitości $\mathbb{X}^{n}\$. Zawsze będziemy zakładali, że dla $l\neq\chi$ również $\phi_l \neq \phi_{\chi}$; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu $\Phi_0\$, natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku $n=0\$ jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech $a_i\$, $i=0,1,\ldots,n,$ będzie bazą $\mathbb{R}^{n}$, którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor $\kappa\in \mathbb{R}^n$ można utożsamić z uporządkowanym $n-\$elementowym ciągiem $(\xi^i)\$ jego współrzędnych względem bazy $a_i\$. Dla mapy $\phi\colon U\to \mathbb{R}^n$ otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

$\phi\colon x\in U\to \phi(x)=x^i(x)a_{i}\in \mathbb{R}^n,$

(2)

który każdemu punktowi $x\in U\$ przyporządkowuje uporządkowany ciąg $n\$ liczb rzeczywistych $(x^i(x))\$, czyli tzw. współrzędnych punktu $x\$ względem mapy $\phi\$. Rozważmy dwie mapy $\phi_l\$, $\phi_\chi\$ rozmaitości $\mathbb{X}^n$, dla których przekrój $U_l\cap U_\chi\neq\emptyset$. Wtedy punktowi $x\in U_l\cap U_\chi$ odpowiadają współrzędne $x^i(x)\$ w mapie $\phi_l\$ oraz $x^{i'}(x)\$ w mapie $\phi_\chi\$. Oba te układy współrzędnych na przekroju $U_l\cap U_\chi\$ wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:

$\phi_{\chi l}\colon (x^i)\in \phi_l (U_l \cap U_\chi) \to (x^{i'})=\phi_\chi\circ \phi_l^{-1}(x^i)\in\phi_\chi(U_l \cap U_\chi).$

(3)

Samo $\phi_{\chi l}\$ jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni $\mathbb{R}^n$. Przechodząc do współrzędnych $\mathbb{R}^n$ w bazie $a_i\$ zapisujemy $\phi_{\chi l}\$ za pomocą układu $n\$ funkcji rzeczywistych $n\$ zmiennych

$x^{i'}=x^{i'}(x^i).\$

(4)

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych $\{\phi_{\chi l}\}\$, dla którego zachodzi

$\phi_{l \chi}=\phi_{\chi l}^{-1},\qquad U_l \cap U_\chi \neq\emptyset),$

(5)

$\phi_{\lambda l}=\phi_{\lambda \chi}\circ\phi_{\chi l},\qquad U_\lambda \cap U_\chi \cap U_l \neq\emptyset).$

(6)

Niech $f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}\$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości $\mathbb{X}^n\$. Każdej mapie $\phi_l\$ jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie $f_l\$ funkcji $f\$ w tej mapie

$(x^i) \in \phi_l (U_l) \to f_l(x^i)=f \circ \phi_l^{-1}(x^i) \in \mathbb{R}.$

(7)

Dla $x\in U_l \cap U_\chi\$ mamy dwa przedstawienia $f_l(x^i)\$, $f_\chi(x^{i'})\$ funkcji $f\$ w mapach $\phi_l\$, $\phi_\chi\$, które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

$f_\chi(x^{i'})=f_l\circ \phi_{l \chi}(x^{i'}),$ $(x^{i'})\in \phi_\chi(U_l \cap U_\chi).$

(8)

Zatem, każdej funkcji rzeczywistej $f$ odpowiada rodzina $\{f_l\}_{l\in I}\$ jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina $\{f_l\}_{l\in I}\$ funkcji rzeczywistych $n\$ zmiennych rzeczywistych $(x^i)\in \phi_l(U_l)\$, dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując $f(x)=f_l\circ \phi_l(x)\$, $x\in U_l\$ otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości $\mathbb{X}^n\$. Niech $x\in U_l \cap U_\chi\$, wtedy na mocy (3), (8) będzie

$f_\chi\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_{l \chi}\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_l$

(9)

tak, że definicja funkcji $f(x)\$ nie zależy od wyboru mapy $\phi_l\$ $(x\in U_l)\$. Zauważmy od razu $f\$ jest ciągła na $\mathbb{X}^n\$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia $f_l\$ w mapach są funkcjami ciągłymi. Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji $f\$ na $\mathbb{X}^n$ za pomocą jej przedstawień w mapach niech $x_0\in U_l$; można powiedzieć, że $f\$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0\$, gdy $f_l\$ jest różniczkowalna w punkcie $(x_0^i)=\phi_l(x_0)\in\mathbb{R}^n$. Dla $x_0\in U_l \cap U_\chi$ nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność ${f_\chi}\$ w punkcie $(x_0^{i'})=\phi_\chi(x_0)$, bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych $\phi_{l \chi}\$ są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych $\phi_{l \chi}\$ były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagły. Wtedy różniczkowalność $f_\chi\$ będzie wynikała z różniczkowalności $f_l\$ oraz $\phi_{l \chi}\$ na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.

Przykłady

1. Przestrzeń $\mathbb{R}^n\$ $(\mathbb{C}^n)\$ jest $n\$-krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).
2. Iloczyn $n\$-krotny okręgu $\mathbb{S}^1$ nazywamy $n\$-wymiarowym torusem $\mathbb{T}^n\$; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy $C_\omega\$.
3. Niech $\mathbb{Y}$ będzie otwartym podzbiorem rozmaitości $\mathbb{X}^n$. Wówczas ograniczenie atlasu $\Phi\$ tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na $\mathbb{Y}$, względem której $\mathbb{Y}$ jest $n\$-wymiarową podrozmaitością rozmaitości $\mathbb{X}^n$. $\mathbb{Y}$ nazywamy podrozmaitością otwartą.
4. Niech $\mathbb{X}^2$ oraz $\hat{\mathbb{X}}^2$ będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny $\mathbb{R}^2$. Utożsamiamy półpłaszczyzny $y<0\$, $\hat{y}<0\colon$ $(\hat{x}, \hat{y})\equiv (x,y)$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi $\hat{x}=x$ oraz $y=\hat{y}<0$. Powstaje wówczas rozmaitość analityczna $\mathbb{Y}^2$, która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów $(\hat{0}, \hat{0})$ oraz $(0, 0)\$ nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń $\mathbb{Y}^2$ jest przestrzenią $T_1\$.