Rząd macierzy

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.

Jeśli w powyższej definicji zastąpimy słowo "kolumna" słowem "wiersz" dostaniemy równoważną definicję rzędu.

Istnieją także inne równoważne definicje rzędu, oto dwie z nich:

• Rząd macierzy jest to wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami (wierszami) macierzy.
• Rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy.

Rząd macierzy $A$ w polskiej literaturze oznacza się zazwyczaj symbolem $\mbox{rz}A$. W literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia $\mbox{rk}A$, $\mbox{rank}A$.

Podstawowe własności

Załóżmy, że $A$ jest macierzą o wymiarze $m \times n .$ Wówczas:

• $\operatorname{rz} A \leqslant \min (m,n) .$
• $\operatorname{rz} A = 0 \Leftrightarrow A = 0$ (tj. $A$ jest macierzą zerową).
• Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd równy jest jej stopniowi.
• Jeśli $B$ jest macierzą o wymiarze $n \times k$ rzędu $n$, to $\operatorname{rz} (AB) = \operatorname{rz}A.$ Podobnie, jeśli $C$ jest macierzą o wymiarze $l \times m$ rzędu $m$, to $\operatorname{rz}(CA) = \operatorname{rz}A.$
• Dla macierzy kwadratowych $A$ i $B$ stopnia $n$ zachodzi nierówność

  $\operatorname{rz} A + \operatorname{rz} B - n \leqslant \operatorname{rz} (AB)$

nazywana nierównością Sylvestera o rzędach.

• Jeśli $B$ jest macierzą o wymiarze $m \times n$, to $\operatorname{rz}(A+B) \leqslant \operatorname{rz} A + \operatorname{rz} B .$
• $\operatorname{rz}A^T = \operatorname{rz}A$, czyli transpozycja nie zmienia rzędu.
• Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.

Rząd przekształcenia liniowego

Niech $V$ i $W$ będą, odpowiednio, n- i m-wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz $A : V \to W$ będzie przekształceniem liniowym. Jeśli $(v_1, \ldots, v_n)$ i $(w_1, \ldots, w_m)$ są bazami przestrzeni, odpowiednio, $V$ i $W$, to przekształcenie A można utożsamiać z macierzą o m wierszach i n kolumnach. Okazuje się, że rząd tej macierzy nie zależy od wyboru baz (chociaż ona sama tak). Rząd macierzy przekształcenia liniowego nazywamy rzędem przekształcenia liniowego. Liczba ta ma związek z własnościami samego przekształcenia:

• Przekształcenie $A$ jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy n.
• Przekształcenie $A$ jest "na" wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy m.

Zobacz też

• sygnatura macierzy
• obliczanie rzędu macierzy przy pomocy metody eliminacji Gaussa