Rzut (algebra liniowa)

Przekształcenie P jest rzutem ortogonalnym na prostą m.

Rzut – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej przekształcenie liniowe $P$ przestrzeni liniowej w siebie spełniające warunek $P^2 = P\,$, czyli takie, które nie zmienia swojego obrazu.

Jeśli w przestrzeni określony jest iloczyn skalarny i rzut $P$ jest względem niego samosprzężony tj. spełnia dodatkowo $P^* = P\,$, to rzut nazywamy rzutem ortogonalnym.

Definicja równoważna

Niech przestrzeń $\,V$ będzie sumą prostą $U \oplus W \,$.

Przekształcenie $P\,$ jest rzutem na $W\,$ wzdłuż $U\,$, jeśli dla każdego $x\in V$

$Px \in W \mbox{ oraz } Px-x\in U$

$U\,$ jest jądrem przekształcenia $P\,$, $W\,$ jest jego obrazem.

Jeśli $U=W^{\perp} \,$ czyli $V=W^{\perp} \oplus W \,$, to $P\,$ jest rzutem ortogonalnym. Wówczas

$\mathbf Px - \mathbf x \in U$.

jest równoważne

$\mathbf Px - \mathbf x \perp W$.

W geometrii elementarnej tak określony rzut odpowiada rzutowi ukośnemu, rzut ortogonalny rzutowi prostokątnemu.