Słaba topologia

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej $\scriptstyle X$ o nietrywialną przestrzeni sprzężonej (topologicznie) $\scriptstyle X^*$ jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

$\{x^*\colon x^*\in X^*\};$

jeśli $\tau$ jest (mocną) topologią w $X,$ to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem $\tau^*.$ Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

O tym, że w przestrzeniach nieskończonego wymiaru zbieżności słaba i mocna (tzn. w topologiach słabej i mocnej) w punkcie $x_0,$ definiowane odpowiednio jako zbieżność $\varphi(x_n) \to \varphi(x_0)$ dla dowolnego ciągłego funkcjonału liniowego $\varphi$ (oznaczane często $\scriptstyle x_n \rightharpoonup x_0$) oraz $\scriptstyle \|x_n - x_0\| \to 0$ (oznaczane zwykle $\scriptstyle x_n \to x_0$) są istotnie różne, można się przekonać rozpatrując nieskończony ciąg $\scriptstyle (e_n)$ elementów przestrzeni $\scriptstyle \ell_2$, w którym kolejne elementy mają na $\scriptstyle n$-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera – jest on słabo zbieżny, lecz nie w normie, gdyż słaba zbieżność pociąga tylko ograniczoność tego ciągu. Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Istotność tej słabej topologii wynika zatem z możliwości osłabienia tradycyjnych pojęć topologii, np. zwartości, czy domkniętości (mówi się wtedy o słabej zwartości, czy słabej domkniętości) i uzyskania wyników, które zachodzą w słabej topologii, lecz nie muszą w mocnej.

Własności

Niech $X$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech $\mathcal{F}$ będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni $X$ taką, że dla każdego niezerowego $x\in X$ istnieje $f\in\mathcal{F}$ taki, że $f(x)\neq 0$. Wówczas

• $(X, +, \cdot, \tau(\mathcal{F}))$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
• rodzina $\mathcal{F}$ jest zawarta w przestrzeni sprzężonej $(X, \tau(\mathcal{F}))^\star$, ponadto jeśli $\mathcal{F}$ sama jest przestrzenią liniową, to $\mathcal{F}=(X,\tau(\mathcal{F}))^\star$.
• podzbiór $A$ przestrzeni $(X, \tau(\mathcal{F}))$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $f\in\mathcal{F}$ istnieje $M\in [0,\infty)$, że dla każdego $x\in A$: $|f(x)|\leqslant M$,
• ciąg punktów $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ dla każdego $f\in\mathcal{F}$.
• Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
• Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
• Twierdzenie Mazura: Niech $X$ będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt $x\in X$ jest słabą granicą ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ punktów tej przestrzeni, to jest granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru $\{x_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}$.

Topologia *-słaba

Niech $(X,\mathcal{T})$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego $x\in X$ można określić funkcjonał $\Phi_x\colon X^\star\to K$ dany wzorem

$\Phi_x(x^*)=x^* x$.

Dla każdego $x\in X$ funkcjonał $\Phi_x$ jest liniowy ponadto dla każdego $x^\star\in X^*\setminus\{0\}$ istnieje $x\in X$ taki, że

$\Phi_x(x^*)\neq 0$.

Topologię $\tau(\{\Phi_x\colon\, x\in X\})$ wprowadzoną w zbiorze $X^*$ przez rodzinę $\{\Phi_x\colon\, x\in X\}$ nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem ${\mathcal{T}^w}^*$.

Przestrzeń $(X^*, {\mathcal{T}^w}^*)$ jest lokalnie wypukła, a rodzina

$\{\{x^\star\in X^\star\colon\, |x^\star x_1|<\tfrac{1}{n_1}, \ldots, |x^\star x_m|<\tfrac{1}{n_m}\}\colon\, x_1,\ldots, x_m\in X, n_1,\ldots, n_m\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N}\}$

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

• Jeżeli $X^*$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną oraz ${\mathcal{T}^*}$ oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni $X^*$, to ${\mathcal{T}^w}^*=({\mathcal{T}^*})^w$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.