Spis macierzy

Niżej znajduje się spis macierzy, ważnych z punktu widzenia matematyki, fizyki, inżynierii i innych działów nauki jak również ich zastosowania w kulturze popularnej.

Matematyka

• Relację $\varrho$ między elementami zbiorów $P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ oraz $Q = \{q_1, q_2, \dots, q_m\}$ wygodnie jest określać za pomocą macierzy incydencji $A=(a_{i,j})$, gdzie $a_{ij}$ jest wartością logiczną zdania $p_i\ \varrho\ q_j$.
• Jeżeli wyżej określony zbiór $P$ jest zbiorem wierzchołków grafu niezorientowanego, to kwadratowa macierz incydencji $A$, gdzie $a_{ij}$ jest liczbą krawędzi łączących wierzchołki $p_i$ i $p_j$ jest symetryczna, czyli $A = A^T$.
• Jeżeli $P$ opisuje graf zorientowany, to $a_{ij}$ jest liczbą krawędzi z wierzchołka $p_i$ do wierzchołka $p_j$.
• W algebrze liniowej macierze służą do reprezentacji przekształceń liniowych i funkcjonałów dwuliniowych oraz rozwiązywania układów równań liniowych.
• Macierz Jacobiego (jakobian) stosowana jest przy całkowaniu przez podstawienie.
• Macierze Wrońskiego i ich wyznaczniki (wrońskiany) są używane przy rozwiązywaniu niektórych typów równań różniczkowych oraz sprawdzaniu liniowej niezależności funkcji.
• W geometrii stosowane są macierze przekształcenia, opisujące przekształcenia afiniczne.

Fizyka i elektronika

• We współczesnej elektronice praktycznie każdy nowy układ elektroniczny jest najpierw przeliczany na komputerze (programy w rodzaju PSpice). Stosowana wówczas teoria obwodów wymaga rozwiązywania dużych układów równań, w czym pomagają macierze.
• W elektronice stosowane są również macierze niewynikające z twierdzeń czysto matematycznych, np. macierze immitancji i transmitancji.
• Szczególnym przypadkiem macierzy są wektory, które stały się jednym z podstawowych pojęć fizyki.
• Macierze są często używane w mechanice kwantowej, której sformułowanie w języku macierzy zwane jest mechaniką macierzową.
• Także ogólna teoria względności wyrażona jest w języku tensorów (np. tensor napięć-energii) do zapisu których stosowane są m.in. macierze.
• Zaawansowane obliczenia z dziedziny fizyki i nauk pokrewnych (mechanika płynów, meteorologia, odkształcenia materiałów, elektromagnetyzm) często sprowadzają się do metody elementów skończonych, która posługuje się macierzami.
• Zjawisko piezoelektryczne wygodnie opisać za pomocą macierzy.

Statystyka

• Kwadraty łacińskie, kwadraty greckie i kwadraty grecko-łacińskie są przydatne przy planowaniu eksperymentów w każdej dziedzinie nauki – dzięki nim za pomocą minimalnej liczby eksperymentów możemy uzyskać dobrą statystycznie informację o wpływie każdego z kilku różnych czynników na obserwowaną zmienną.
• Macierz danych jest standardowym zapisem wyników eksperymentu w statystyce. Statystyka stosuje też wiele innych macierzy, m.in. macierz stochastyczną, macierz korelacji, macierz wariancji-kowariancji, kontyngencji.
• Macierze w statystyce są też oczywiście wykorzystywane w metodach bazujących na przestrzeniach liniowych, jak m.in. wielowymiarowa regresja liniowa, analiza czynnikowa, analiza składowych głównych, analiza odpowiedniości.

Optymalizacja

• Macierze używane są w zagadnieniach optymalizacyjnych, szczególnie w programowaniu liniowym.
• Optymalizacja sprowadza się często do szukania ekstremów funkcji wielu zmiennych. Pomagają w tym macierze Hessego (hesjany).

Informatyka i telekomunikacja

• W językach programowania jednym z podstawowych typów danych jest tablica dwuwymiarowa, będąca informatycznym odpowiednikiem macierzy.
• W teorii kodowania w telekomunikacji stosowane są macierze.
• Macierze są wykorzystywane we współczesnej kryptografii (zobacz np. AES).
• W cyfrowym przetwarzaniu obrazów filtry stosowane do obrazów są często wyrażone za pomocą średniej ważonej z sąsiednich pikseli obrazu. Wagi tworzą wówczas macierz. Filtry takie mogą służyć m.in. do wygładzania albo wykrywania krawędzi (np. algorytm prewitt).
• W programowaniu grafiki i fizyki 3D (np. w programowaniu gier) macierze 4x4 są wykorzystywane do reprezentacji większości potrzebnych przekształceń geometrycznych - m.in. translacji, rotacji, skalowania i rzutowania perspektywicznego (zob. współrzędne jednorodne).
• Tzw. macierze widoku stosowane są w grafice trójwymiarowej do łatwego formalizowania położenia i kierunku patrzenia kamery.
• Tzw. macierz fundamentalna 3×3 rzędu 2 jest w grafice 3D używana do generowania obrazów stereoskopowych.
• W teorii sygnałów oraz przy kompresji obrazu stosowane są tzw. falki. Można je wyliczać z wykorzystaniem macierzy.

Pozostałe dziedziny

• Macierz Z jest stosowanym w chemii sposobem zapisu budowy cząsteczki.
• W stechiometrii stosowane są macierze stechiometryczne
• Olga Taussky-Todd używała teorii macierzy do badania zjawisk aerodynamicznych, zwanych flatterem i aeroelastycznością, podczas II wojny światowej.
• Macierzowe równania stanu są jednym z podstawowych pojęć automatyki – pozwalają one na matematyczną reprezentację układu dynamicznego, w tym układu automatyki.
• W robotyce stosowane są elementarne macierze transformacji pozwalające opisywać matematycznie ruchy ramion robota. Macierze (Grama, Kalmana oraz tzw. nawiasy Liego) są też stosowane do sprawdzania czy robot mobilny jest układem sterowalnym. W modelu manipulatora robotycznego używana jest też macierz pseudoinercji, macierz bezwładności, macierz Coriolisa i macierz grawitacji.
• W spektrofotometrii używana jest macierz widm (wartości absorbancji; porównaj LBOZ).
• W bioinformatyce macierze stosowane są w algorytmie uliniowiania do porównywania sekwencji pierwszorzędowej DNA, RNA bądź białek w celu identyfikacji regionów podobnych.
• W teorii gier do opisu prostych gier zwykle stosuje się tzw. macierz wypłat. Wraz z teorią gier mają one zastosowanie także np. w etologii czy taktyce wojskowej.

Kultura popularna

• Kwadraty magiczne, które formalnie były najstarszymi znanymi macierzami, choć oczywiście były (i są) wykorzystywane jako talizmany, a nie obiekty matematyczne.
• Formę macierzy mają także diagramy sudoku.
• Autor Alicji w Krainie Czarów, matematyk Charles Dodgson (Lewis Carroll) jako pierwszy stosował macierze w teorii głosowań.