Stała Eulera

Stała Eulera, stała Eulera-Mascheroniego (γ) – stała matematyczna wynosząca około 0,57721 56649.

Historia

Stałą po raz pierwszy zapisał szwajcarski matematyk Leonhard Euler w dziele zatytułowanym De Progressionibus harmonicis Observationes. Oznaczał ją za pomocą C i O. W 1790 r. włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał liter A i a. Znak γ nie pojawia się w pismach Eulera ani Mascheroniego i został użyty później ze względu na związek stałej Eulera z funkcją gamma. Na przykład niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider używał zapisu γ w 1835 roku.

Definicja

Stała Eulera pojawia się w analizie matematycznej jako granica ciągu

$\gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln(n)\right)$

Inaczej można ją zdefiniować za pomocą funkcja ζ Riemanna:

$\gamma=\lim_{x\to 1^{+}}\left(\zeta(x)-{1\over x-1}\right)$

lub za pomocą następującej całki:

$\gamma=-\int_0^\infty {\ln t\over e^t}dt$

Występuje też jako wartość wielu innych całek oznaczonych.

Właściwości

Średnia wartość reszty z dzielenia liczby naturalnej N przez kolejne liczby mniejsze od N (albo kolejne liczby pierwsze mniejsze od N) dąży do γ przy wzroście N.

Stała Eulera bardzo często pojawia się w teorii liczb np. przy asymptotycznych oszacowaniach niektórych funkcji arytmetycznych (twierdzenie Dirichleta o sumie dzielników liczb naturalnych, czy też twierdzenie Mertensa). Pojawia się też często przy rozważaniu szeregu harmonicznego. W tych rozważaniach często występuje:

$e^\gamma=\prod_{k=1}^\infty{\sqrt[k]{e}\over1+{1\over k}}\approx 1.78107\dots$

Nie wiadomo czy ta stała jest liczbą wymierną, czy też niewymierną, ale wykazano, że jeśli liczba γ jest liczbą wymierną, to jej mianownik musi mieć ponad 10²⁴²⁰⁸⁰ cyfr.

Wartość przybliżona stałej Eulera γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805…

Do obliczania wartości liczby γ można użyć wzoru:

${1\over24(n+1)^2}<\left(\sum_{k=1}^n {1\over k}\right)-\ln{(n+{1\over2})}-\gamma<{1\over24n^2}$

Związki

Stała Eulera występuje m.in. w:

• wyrażeniach związanych z całkami funkcji wykładniczych
• Transformacjach Laplace'a logarytmu naturalnego

Zobacz też

• Lista stałych matematycznych