Cechowanie (fizyka)

Cechowanie - koncepcja występująca w różnych formach w nowoczesnych teoriach fizycznych, dotycząca symetrii.

Definicje

Symetria cechowania

Symetria cechowania to matematyczna własność różnych teorii fizycznych, polegająca na tym, że pewne mierzalne parametry teorii (np. energia, ładunek, pole elektryczne) pozostają niezmienione po poddaniu układu fizycznego pewnej matematycznej transformacji, która nie jest przesunięciem, obrotem, transformacją Lorentza ani transformacją supersymetrii.

Symetria cechowania oznacza, że w danej teorii układ ma więcej matematycznych stopni swobody, niż fizycznych. Problemem jest pytanie, czy symetria cechowania opisuje prawdziwe zjawisko fizyczne, czy jest jedynie matematycznym artefaktem teorii. Istnieją teorie (np. teoria Kaluzy-Kleina), gdzie symetrie cechowania tłumaczy się występowaniem dodatkowych wymiarów czasoprzestrzeni.

W elektrodynamice szczególnym przypadkiem symetrii cechowania jest swoboda wyboru potencjału zerowego a także fakt, że oddziaływania zależą od różnicy potencjałów elektrycznych a nie od samego potencjału.

Transformacja cechowania

Transformacja cechowania, przekształcenie cechowania - przekształcenie matematyczne na obiektach teorii, które nie zmienia żadnych mierzalnych wielkości fizycznych.

Np. w elektrodynamice do pola elektromagnetycznego można dodać gradient dowolnej różniczkowalnej funkcji skalarnej i żadna z następujących wielkości fizycznych się nie zmieni: energia, natężenie pola elektrycznego, natężenie pola magnetycznego.

Grupa cechowania

Grupa cechowania to grupa symetrii transformacji cechowania, czyli taki zbiór transformacji cechowania (wraz z regułą ich składania), która pozostawia mierzalne parametry układu bez zmian.

Z punktu widzenia fizyki teoretycznej ważnym pytaniem jest, czy dana grupa cechowania jest przemienna czy nieprzemienna.

Grupą cechowania elektrodynamiki jest grupa U(1). Teoria oddziaływań elektrosłabych ma grupę U(1)×SU(2). Chromodynamika kwantowa ma grupę SU(3). Model Standardowy ma grupę U(1)×SU(2)×SU(3). Teorie wielkiej unifikacji mają większe grupy, przykładowo SU(5), SO(10), E6, E8.

Cechowanie a kwantowanie

Obecność symetrii cechowania powoduje, że na danej teorii nie da się przeprowadzić procedury kwantowania kanonicznego (daje ona bezsensowne wyniki). Opracowano różne rozwiązania tego problemu.

Wybór cechowania

Wybór cechowania, ustalenie cechowania, "fiksowanie" cechowania lub po prostu cechowanie, to dokonanie na układzie pewnej specyficznej transformacji, sprowadzającej jego parametry do wymaganych wartości. Cechowanie zapisuje się jako warunek (równanie) na parametrach układu. Np. w elektrodynamice warunek $A^{0} = 0$ oznacza żądanie wykonania takiej transformacji, aby zerowa (czasowa) składowa pola elektromagnetycznego była równa 0.

Wybór cechowania likwiduje nadmiarowe stopnie swobody układu, co pozwala na przeprowadzenie kwantowania.

Cechowanie może być całkowite lub niecałkowite. W przypadku niecałkowitego, narzucenie warunku pozostawia wciąż pewną podgrupę symetrii. Cechowanie całkowite nie zostawia żadnej grupy, lub inaczej mówiąc, pozostawia jednoelementową grupę trywialną.

Przykłady warunków cechowania w elektrodynamice:

• cechowanie Coulomba: $\nabla A = 0$
• cechowanie Lorentza: $\partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0$
• cechowanie osiowe: $A^{3} = 0$
• cechowanie Hamiltona: $A^{0} = 0$
• cechowanie punktowe: $x \cdot A = 0$ (iloczyn skalarny trójwektorów położenia i pola elektromagnetycznego)
• cechowanie Focka-Schwingera: $x_{\alpha} A^{\alpha} = 0$ (iloczyn skalarny czterowektorów położenia i pola elektromagnetycznego)

Pole pomocnicze

Teorię z cechowaniem można wyrazić w taki sposób, że postuluje się istnienie dodatkowego (niefizycznego) parametru, od którego zależą mierzalne parametry teorii. Ustala się jednak, że pochodna fizycznych parametrów względem pola pomocniczego zawsze wynosi 0. Stąd, zmiany pola pomocniczego są dla nas nieobserwowalne.

Metoda ta jest blisko powiązana z postulowaniem dodatkowych wymiarów czasoprzestrzeni. Owym pomocniczym parametrem może być bowiem położenie lub kierunek w dodatkowym wymiarze.

W podejściu tym wyraźnie widać ważną własność teorii z cechowaniem: sama wartość pola pomocniczego nie ma znaczenia fizycznego, ale jego zmiany mają. Powoduje to trudność w obliczaniu pochodnej. O ile same parametry fizyczne nie zależą od pola pomocniczego, to ich pochodne mogą zależeć.

Metoda BRST

Nazwa pochodzi od pierwszych liter nazwisk odkrywców: Becchi, Rouet, Stora, Tyutin. W metodzie tej dokonuje się ustalenia cechowania, ale pewne parametry teorii w dalszym ciągu pozostają symetryczne względem grupy cechowania.

Cechowanie a twierdzenie Noether

Zgodnie z twierdzeniem Noether, każda symetria ciągła warunkuje istnienie pewnych ładunków oraz praw ich zachowania. Zachowanymi ładunkami, które wynikają z symetrii cechowania są np.: ładunek elektryczny, hiperładunek, słaby izospin, "kolor" kwarków.

Pole cechowania

Pochodna kowariantna

W teoriach z cechowaniem występuje problem z obliczaniem pochodnej różnych wielkości. Zwykła pochodna cząstkowa daje wyniki niezadowalające z punktu widzenia fizyki - otrzymywane wartości nie są tensorami. Dlatego w teoriach takich pochodną cząstkową zastępuję się innym działaniem, pochodną kowariantną.

Pochodna kowariantna danego pola ma ogólną postać: $D \phi = \partial \phi - A \phi$, gdzie $D$ to symbol pochodnej kowariantnej, $\partial$ to pochodna cząstkowa a $A$ to pewne dodatkowe nieróżniczkowe pole.

Owo dodatkowe pole nazywa się polem cechowania i, jak się okazuje, jest prawdziwym polem fizycznym, mierzalnym i występującym w przyrodzie.

Oddziaływania

Obecność pola cechowania pozwala naturalnie wytłumaczyć oddziaływania cząstek. Przed odkryciem teorii z cechowaniem trzeba było wprowadzać oddziaływania w sposób sztuczny i arbitralny. W nowoczesnych teoriach własności, charakter i siłę oddziaływań można wywnioskować z grupy symetrii cechowania. Powyższa konstrukcja dobrze zgadza się z doświadczeniem i poprawnie opisuje zachowania cząstek.

Poniższe sformułowania są równoważne w myśl dzisiejszych teorii fizycznych:

• Cząstki nie poruszają się po liniach prostych, ale ich tory są zakrzywiane przez obecność pola cechowania.
• Cząstki poruszają się po liniach geodezyjnych w pewnej zakrzywionej (matematycznej) przestrzeni, której zakrzywienie opisuje pole cechowania.
• Cząstki oddziałują poprzez wymianę wirtualnych kwantów pola cechowania.

Bozony cechowania

Ponieważ pole cechowania jest zwykłym polem fizycznym, więc posiada swoje kwanty (cząstki). Są one zawsze bozonami wektorowymi (o spinie 1). Muszą one być bezmasowe, chyba że uzyskają masę poprzez mechanizm Higgsa. Każde pole cechowania tworzy tyle kwantów, ile generatorów ma grupa cechowania.

Przykłady:

• Elektrodynamika ma grupę cechowania U(1) z jednym generatorem. Bozonem cechowania jest foton.
• Oddziaływanie elektrosłabe ma grupę cechowania SU(2)×U(1). Podgrupa SU(2) ma 3 generatory, skąd pochodzi tryplet bozonów cechowania: W⁺, W⁰, W^-. Podgrupa U(1) ma jeden generator, od którego pochodzi bozon B. W myśl teorii oddziaływań elektrosłabych foton i bozon Z są odpowiednimi superpozycjami bozonów W⁰ i B.
• Chromodynamika ma grupę cechowania SU(3). Ma ona 8 generatorów, które tworzą oktet gluonów.
• Teorie wielkiej unifikacji mają większe grupy cechowania, dlatego postulują istnienie dodatkowych cząstek (przykładowo bozonów X).
• Oddziaływanie międzynukleonowe (obecnie rozumiane jako przejaw oddziaływania silnego) może być sformułowane jako teoria z cechowaniem. Jego grupą cechowania jest SU(2), związana z silnym izospinem. Bozonami cechowania są mezony π⁺, π⁰, π^-. Symetria względem grupy SU(2) nie jest ścisła, silny izospin nie jest wielkością zachowaną a mezony π nie są bezmasowe, więc teoria ta jest jedynie przybliżeniem, jest jednak przydatna w praktyce.