Styczna

Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych s_k przechodzących przez punkty P i P_k gdy punkt P_k dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

Niech punkt Q będzie rzutem punktu P na oś x i niech styczna s przecina oś x w punkcie R zaś prosta n będąca normalną do krzywej K przecina oś x w punkcie T. Odcinek skierowany RQ nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany QT - podnormalną. Długość |PR| nazywa się długością stycznej zaś |PT| - długością normalnej.

Jeśli krzywa K określona jest w pewnym przedziale $[a,b]$ funkcją $y = f(x)$ ciągłą, która posiada w tym przedziale określoną pierwszą pochodną $f^\prime$ to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały $P (x_0, y_0)$, gdzie $y_0 = f(x_0)$ oraz punkt zmienny $P ( x_k, y_k )$, gdzie $y_k = f(x_k)$ ma postać:

$y-y_0=\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}(x-x_0)\,\!$.

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie $P (x_0, y_0)$ ma postać:

$y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)\,\!$.

Wówczas odcięte punktów Q, R, T są odpowiednio równe: $x_0,\ x_0-{{y_0}\over{f'(x_0)}},\ x_0+y_0f'(x_0)\,\!$

Długość stycznej określa wówczas wzór: $|PR|=\left|{y_0\over{f'(x_0)}}\right| \sqrt{1+(f'(x_0))^2}$ zaś długość normalnej: $|PT|=\left|y_0\right| \sqrt{1+(f'(x_0))^2}$

podstyczna: $|RQ|=\left|{y_0\over{f'(x_0)}}\right|$

podnormalna: $|QT|=\left|y_0f'(x_0)\right|$

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni. Wówczas należy najpierw określić kierunek szukanej stycznej i wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą wybrany kierunek.

Szkolna definicja stycznej

Zgodnie z intuicyjną definicją stycznej, której uczy się w szkole, styczna do okręgu jest to prosta posiadająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Nie można tej definicji uogólnić na dowolną krzywą, nawet wprowadzając dodatkowy warunek, że prosta ta musi być równoległa do małego wycinka krzywej w tym punkcie. Wynika to z faktu, iż styczna do krzywej w jednym punkcie może przecinać ją w innych punktach (w szczególnym przypadku styczną do prostej jest ta sama prosta, zatem obie mają wszystkie punkty wspólne).

Własności stycznych do okręgu

Niech punkty $B$ i $C$ będą punktami styczności do okręgu o dwóch prostych przecinających się w punkcie $A .$ Wówczas $|AB|=|AC|$.

Odcinki AB i AC są równe.

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkt styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód(dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa $\pi$, kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od $\frac{\pi}{2}$ o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też

• normalna
• sieczna
• metoda stycznych