Suma zbiorów

Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.

Definicje

Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana symbolem $A\cup B$. Tak więc:

$A\cup B=\{x\colon x\in A\vee x\in B\}$

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ to

$\bigcup {\mathfrak A} = \{x:(\exists A \in \mathfrak A)(x\in A)\}$

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$ definiujemy

$\bigcup_{i\in I} A_i = \{a : (\exists i \in I)(a\in A_i)\}.$

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np $\bigcup_{i\in I}A_i = \bigcup \{ A_i: i\in I\}$, a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady

• Niech ${\mathbb Q}$ będzie zbiorem liczb wymiernych a ${\mathbb I}{\mathbb Q}$ niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas ${\mathbb Q}\cup {\mathbb I}{\mathbb Q}$ jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn. ${\mathbb Q}\cup {\mathbb I}{\mathbb Q}={\mathbb R}$.
• $(0,2)\cup [1,3]=(0,3]$,
• $\bigcup\limits_{n\in {\mathbb N}} (1,2-\frac{1}{n+1})=(1,2)$
• Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku $[\sqrt{2},\sqrt{5})$. Wówczas

$\bigcup {\mathfrak A}=(\sqrt{2},\sqrt{5})$.

Aksjomat sumy

Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis $A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$ należy rozumieć jako opisujący zbiór $A\cup B$ przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór $U$ do którego należą dokładnie te obiekty $x$, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny ${\mathfrak A}$. Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy:

$(\forall {\mathfrak A})(\exist U)(\forall x)\Big(x\in U\ \Leftrightarrow\ (\exist A)(x\in A\wedge A\in {\mathfrak A})\Big)$.

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

• $\bigcup\varnothing=\varnothing$;
• $\bigcup \{ A\} = A =A\cup A$;
• $\bigcup \{ A, B\} = A \cup B$;
• $\varnothing\cup A=A$;
• $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$     (łączność);
• $A \cup B = B \cup A$     (przemienność);
• $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$ oraz $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$ (prawo De Morgana).

Ponadto,

• $A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cup B = B$.

• Niech $U$ będzie niepustym zbiorem a ${\mathcal P}({\mathbf U})$ niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru $U$. Wówczas

$({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\varnothing,{\mathbf U})$

jest zupełną algebrą Boole'a.

• Za pomocą sumy i różnicy symetrycznej można wyrazić iloczyn i różnicę zbiorów:

$A \cap B = (A \cup B) \dot- (A \dot- B)$ oraz $A \setminus B = A \dot- (A \cap B)$

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i\colon i\in I\}$, $\{B_i\colon i\in I\}$ oraz $\{C_{j,k} \colon j\in J\ \wedge\ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech $D$ będzie zbiorem. Wówczas

• $\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)=\bigcup\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcup\limits_{i\in I} B_i$
• $\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)\subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcup\limits_{i\in I} B_i$
• $D\cap \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap D)$
• $D\cup \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup D)$
• $D\setminus \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} D\setminus A_i$
• $\bigcup\limits_{j\in J}\bigcup\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcup\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$
• $\bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną zbiorów. Wówczas

$\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\}.$

Na przykład niech $\mathfrak{A} = \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\}$, gdzie $\mathcal{A}_1 = \{A_1, A_2\}$ oraz $\mathcal{A}_2 = \{A_3, A_4\}$. Wtedy z jednej strony:

$\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{A_1, A_2, A_3, A_4\} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$,

a z drugiej

$\bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\} = \bigcup \{A_1 \cup A_2, A_3 \cup A_4\} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$.

Suma a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji $f : X\longrightarrow Y$, dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$, oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y$, prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

• $f^{-1}\left(\bigcup\limits_{j\in J} B_j\right) = \bigcup\limits_{j\in J} f^{-1}(B_j)$ (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
• $f\left(\bigcup\limits_{i\in I} A_i\right)=\bigcup\limits_{i\in I} f(A_i)$ (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

Bibliografia

1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966. 
2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977. 
3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971. 

Zobacz też

• iloczyn kartezjański,
• iloczyn zbiorów,
• prawa De Morgana,
• różnica zbiorów,
• zasada włączeń i wyłączeń.