Sygnał okresowy

Sygnał okresowo zmienny to pojęcie stosowane szeroko w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce i innych dziedzinach nauki i techniki. Artykuł zawiera zestawienie definicji podstawowych parametrów stosowanych do opisu sygnałów okresowo zmiennych. W tabeli poniżej zestawiono wartości tych parametrów dla kilku często spotykanych typów sygnałów. Szczegółowe omówienie poszczególnych parametrów, ich znaczenia, sposobów pomiaru i zastosowania znajdują się w odrębnych artykułach.

Definicja

Sygnałem okresowo zmiennym nazywamy każdą wielkość fizyczną x(t), zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

$x(t) = x(t+kT)\,$

gdzie $k = 1,2...$ zaś T jest ustaloną wartością (okresem sygnału).

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami T. Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

Okres i częstotliwość

Najmniejszą wartość T o tej własności nazywamy okresem podstawowym, lub po prostu okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość f i pulsacja $\omega$ (częstość kołowa):

$f = \frac{1}{T}$

oraz

$\omega = {2}\cdot{\pi}\cdot f$

Składowe harmoniczne

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

$x(t)=X_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}\cdot\sin(n{\omega}t+\varphi_{n})$

gdzie:

$X_0$ - składowa stała

$X_n$ - amplituda n-tej harmonicznej

$\phi_n$ - przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie X₁

Wartość szczytowa

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

$X_{max}=max|x(t)|\,$

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

$X_{pp}=max|x(t)>0| + max|x(t)<0|\,$

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

Wartość średnia

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

$X_{m} = \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T}\,x(t)dt$

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą X₀ szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał,okresowy symetryczny względem osi x=0 ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

$X_{e}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,|x(t)|dt$

Wartość skuteczna

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podajemy tę właśnie wartość (jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. - oznacza to, że mowa jest o wartości skutecznej). Jest ona określona wzorem:

$X_{sk}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,x^{2}(t)dt}$

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera - patrz wyżej):

$X_{sk}=\sqrt{X_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}^{2}}$

(Powyższy wzór jest treścią tożsamości Parsevala w teorii szeregów Fouriera)

Współczynniki bezwymiarowe

Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej: $k_{k}=\frac{X_{sk}}{X_{e}}$

Współczynnik szczytu

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału: $k_{sz}=\frac{X_{max}}{X_{sk}}$

Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnik zawartości harmonicznych, mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

$h_{1}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{n=2}^{\infty}X_{n}^{2}}}{X_{1}}$

lub:

$h_{2}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{n=2}^{\infty}X_{n}^{2}}}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}^{2}}}$

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń)

Wartości parametrów dla wybranych przykładowych sygnałów okresowych

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla kilku najprostszych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia bezwzględna	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	Współczynnik zawartości harmonicznych
						$h_1$	$h_2$
Sygnał stały (DC)	_	$1$	$1$	$1$	$1$	nieokreślony	nieokreślony
Sinusoidalny		$\frac{2}{\pi}\approx 0,637$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$	$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx 1,11$	$\sqrt{2}\approx 1,414$	$0$	$0$
Sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo		$\frac{2}{\pi}\approx 0,637$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$	$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx 1,11$	$\sqrt{2}\approx 1,414$	$\approx 0,225$	$\approx 0,219$
Sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo		$\frac{1}{\pi}\approx 0,318$	$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{\pi}{2}\approx 1,571$	$2$	$\approx 0,441$	$\approx 0,404$
Trójkątny symetryczny		$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$	$\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155$	$\sqrt{3}\approx 1,732$	$\sqrt{\frac{\pi^4}{96}-1}\approx 0,121$	$\sqrt{1-\frac{96}{\pi^4}}\approx 0,120$
Prostokątny symetryczny (współczynnik wypełnienia 50%)		$1$	$1$	$1$	$1$	$\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}\approx 0,483$	$\sqrt{1-\frac{8}{\pi^2}}\approx 0,435$
Piłokształtny		$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$	$\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155$	$\sqrt{3}\approx 1,732$	$\sqrt{\frac{\pi^2}{6}-1}\approx 0,803$	$\sqrt{1-\frac{6}{\pi^2}}\approx 0,626$

Bibliografia

• Bolkowski, Stanisław: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: WNT, 2008. ISBN 83-204-3344-9. 
• Szabatin, Jerzy: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008. ISBN 978-83-206-1331-5.