Tensor

Definicja intuicyjna:
Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Tensor, wielkość tensorowa, gęstość tensorowa, obiekt geometryczny, pole tensorowe – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora.

Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione oraz można rozważać pola tensorowe.

Cel

Aby opisać jakąś geometryczną przestrzeń, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest rzeczą sztuczną, w rzeczywistości twór taki nigdzie nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Co więcej, czasami nie wiadomo, czy jakaś matematyczna własność jest cechą samej przestrzeni, czy tylko układu współrzędnych. Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych.

Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$, $V^*$ będzie przestrzenią do niej sprzężoną oraz niech $p$ i $q$ będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Rozważmy iloczyn kartezjański

$V^p\times (V^*)^q = \underbrace{V\times \ldots \times V}_p \times \underbrace{V^*\times \ldots \times V^*}_q$.

Każde odwzorowanie (p+q)-liniowe

$f\colon V^p\times (V^*)^q\to K$

nazywane jest tensorem na $V$ (typu (p,q) i rzędu $p+q$) p-krotnie kowariantnym i q-krotnie kontrawariantnym. Dla $p=0$ mówi się o tensorze kowariantnym a dla $q=0$, o tensorze kontrawariantnym. Przyjmuje się, że tensory typu (0,0) to skalary (elementy ciała $K$).

Zbiór $\mathbb{T}^p_q(V)$ wszystkich tensorów typu $(p,q)$ na $V$ tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi punktowo.

Jeśli przestrzeń $V$ jest skończenie wymiarowa oraz zbiór $\mathcal{B}=\{\alpha_1, \ldots, \alpha_p\}$ jest jej bazą, w przestrzeni sprzężonej można rozważać bazę sprzężoną do $\mathcal{B}$, tzn. zbiór takich funkcjonałów lininowych $\delta_1, ... ,\delta_p$ na przestrzeni $V$, że $\delta_i(\alpha_j)=1$ gdy $i=j$ oraz $\delta_i(\alpha_j)=0$ w przeciwnym przypadku. Każdy tensor na przestrzeni $V$ można wówczas przedstawić w postaci

$v = \sum _{i_1,...,i_n, j_1 ... j_m \in \{1...p\}} a_{i_1...i_n,j_1,...j_m} \alpha_{i_1} \otimes ... \otimes \alpha_{i_n} \otimes \delta _{j_1} \otimes ... \otimes \delta_{j_m}$

dla pewnych skalarów $a_{i_1...i_n,j_1,...j_m}$, $i_1,...,i_n, j_1 ... j_m \in \{1...p\}$ ("składowych" tensora $v$). Symbol $\otimes$ symbolizuje to iloczyn tensorowy.

Wynika stąd, że jeżeli w przestrzeni $V$ zadana jest pewna baza (układ współrzędnych), to zdefiniować można również stowarzyszony z nią układ współrzędnych w przestrzeni tensorowej - ma to taką zaletę, że zmieniając dobór układu współrzędnych (bazy) w przestrzeni $V$, współrzędne w przestrzeni tensorowej transformują się zgodnie z łatwymi do wyprowadzenia wzorami.

Składowe zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze). Pojedyncze równanie tensorowe staje się układem równań na składowych. Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: składowe są zależne od układu współrzędnych, jednak równania na składowych są niezależne, o ile są tylko wykonywane zgodnie z pewnymi regułami.

Typy tensorów i reprezentacje

Układy współrzędnych można w siebie przekształcać. Tensory są niezależne od układu współrzędnych, dlatego przekształcanie na nie nie wpływa, ale składowe tensorów przekształcają się wraz z układem współrzędnych. Przekształcenie składowych odbywa się według jakiejś reprezentacji grupy przekształceń układu współrzędnych. Tensory można poklasyfikować według reprezentacji, względem jakich transformują się ich składowe.

• Skalary – wcale się nie transformują, albo inaczej mówiąc, transformują się według reprezentacji trywialnej

$D(\Lambda) = 1\,$

oznaczenia: $a, X, r\,$

• Wektory, wektory kontrawariantne – transformują się względem reprezentacji odwrotnej do grupy przekształceń

$D(\Lambda) = (\Lambda)^{-1}\,$

oznaczenia: $b^{\mu}, p^{\nu}, x^{\rho} \,$

• Kowektory, wektory kowariantne, jednoformy – transformują się względem reprezentacji zgodnej z grupą przekształceń

$D(\Lambda) = \Lambda\,$

oznaczenia: $f_{\mu}, R_{\nu}, Z_{\rho} \,$

• Tensory drugiego rzędu podwójnie kontrawariantne – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym dwóch reprezentacji przeciwnych do grupy przekształceń

$D(\Lambda) = (\Lambda)^{-1} \times (\Lambda)^{-1}$

oznaczenia: $g^{\mu \nu}, T^{\nu \mu}, R^{\rho \pi} \,$

• Tensory drugiego rzędu podwójnie kowariantne, dwuformy – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym dwóch reprezentacji zgodnych z grupą przekształceń

$D(\Lambda) = \Lambda \times \Lambda$

oznaczenia: $g_{\mu \nu}, T_{\nu \mu}, S_{\rho \pi} \,$

• Tensory mieszane drugiego rzędu – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym reprezentacji zgodnej z grupą przekształceń oraz odwrotnej

$D(\Lambda) = \Lambda \times (\Lambda)^{-1}$

jeśli pierwszy jest indeks dolny, lub

$D(\Lambda) = (\Lambda)^{-1} \times \Lambda$

jeśli pierwszy jest indeks górny;

oznaczenia: $h^{\;\;\mu}_{\nu}, R^{\nu}_{\;\;\mu}, w^{\rho}_{\pi}$

• Tensory wyższych rzędów – transformują się względem iloczynów prostych odpowiedniej liczby macierzy zgodnych i odwrotnych względem grupy przekształceń, w odpowiedniej kolejności

$D(\Lambda) = \Lambda \times \Lambda \times \Lambda \times ... \times (\Lambda)^{-1} \times (\Lambda)^{-1} \times ...$

oznaczenia: $K^{\mu \nu \pi ...}_{\rho \sigma \tau ...}$

• Pseudoskalary – zachowują się jak skalary, ale zmieniają znak podczas transformacji odbicia

$D(\Lambda) = \det{\Lambda}\,$

oznaczenia: jak skalary

• Pseudowektory, wektory osiowe, wektory aksjalne – zarówno kowariantne jak i kontrawariantne; transformują się jak wektory, ale nie zmieniają znaku podczas transformacji odbicia (zwykłe wektory zmieniają)

$D(\Lambda) = (\det{\Lambda}) \Lambda\,$ lub $D(\Lambda) = (\det{\Lambda}) (\Lambda)^{-1}\,$

oznaczenia: jak odpowiednie wektory

• Spinory – transformują się względem reprezentacji spinorowej grupy przekształceń, czasem pomnożonej przez zwykłe reprezentacje tensorowe

$D(\Lambda) = S(\Lambda) \times \Lambda \times ...$

oznaczenia: $Q^{a \mu}_{\nu b}$

Działania

Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowej, zaczynamy od wyboru jakiegoś ciała K; najczęściej jest to ciało liczb zespolonych. Weźmy zbiór wszystkich funkcji, które każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowują element ciała K. Funkcje takie nazywamy polami skalarnymi albo skalarami. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie tych funkcji jest zdefiniowane w sposób naturalny.

W każdej przestrzeni tensorowej istnieje wiele typów tensorów. Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.

• Każdy skalar jest tensorem
• Każdy tensor można pomnożyć przez skalar otrzymując tensor tego samego typu
• Dwa tensory tego samego typu można dodać, otrzymując tensor tego samego typu
• Dwa tensory tego samego typu można odjąć, otrzymując tensor tego samego typu
• Dla dwóch tensorów dowolnych typów można obliczyć iloczyn zewnętrzny, otrzymując tensor innego typu
• Tensor odpowiedniego typu można poddać kontrakcji, otrzymując tensor innego typu
• Łącząc działania mnożenia zewnętrznego i kontrakcji można dla dwóch tensorów obliczyć iloczyn wewnętrzny otrzymując tensor innego typu; czasem również nazywa się to działanie kontrakcją
• Odpowiedni (różniczkowalny) tensor dowolnego typu można poddać różniczkowaniu otrzymując tensor innego typu zwany pochodną kowariantną tego tensora
• Łącząc działania różniczkowania i kontrakcji na różne sposoby można zdefiniować działania dywergencji i rotacji
• Tensor odpowiedniego typu można transponować, otrzymując tensor tego samego typu

Niektóre szczególne przypadki działań mają specjalne nazwy.

• Pochodną kowariantną skalara nazywamy gradientem
• Iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów nazywamy iloczynem skalarnym
• Dodawanie tensora do jego transpozycji nazywamy symetryzacją
• Odejmowanie tensora od jego transpozycji nazywamy antysymetryzacją
• Kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu nazywa się obliczaniem śladu

Rząd tensora

Wielkości tensorowe reprezentuje się zwykle jako macierze kwadratowe. Wymiar macierzy nazywamy w tym wypadku rzędem tensora: wielkość skalarna to tensor rzędu zerowego – posiada tylko jedną składową; wektor jest tensorem rzędu pierwszego i posiada w przestrzeni 3-wymiarowej trzy składowe. Rozważane są także tensory wyższych rzędów, np. tensor pola elektromagnetycznego, który ma rząd równy 2, w fizyce relatywistycznej reprezentowany jest przez macierz o wymiarze 4 na 4 czyli o 16 składowych (z czego 6 niezależnych).

Obok tensorów o całkowitym rzędzie (wymienionych powyżej) rozważa się także wielkości zwane spinorami, których własności transformacyjne są bardziej złożone, jednak nadal określone poprawnie w ramach rachunku tensorowego. Wielkości te można uważać za tensory, jednak ich rząd należy określić jako ułamkowy. Jako przykład można podać funkcję falową elektronu czy dowolnego innego fermionu, której własności transformacyjne ze względu na działanie grupy obrotów są takie, że możemy mówić o niej jako o tensorze obdarzonym ułamkowym rzędem tensorowym, np. w wypadku elektronu o rzędzie 1/2.

Oznaczenia

Tensory oznacza się zwykle dużymi i małymi literami alfabetu łacińskiego, czasem z dodatkowymi akcentami, jak kreski, kropki i gwiazdki. Przy literach tych stoją rozmaite indeksy, których ilość, pozycja i alfabet zależą od typu tensora. Skalary nie mają żadnych indeksów. Najczęściej spotyka się następujące oznaczenia:

• Indeksy kontrawariantne – małe litery greckie od $\mu$ wzwyż stojące u góry: $T^{\mu}$ (UWAGA: to nie jest potęgowanie)
• Indeksy kowariantne – małe litery greckie od $\mu$ wzwyż stojące u dołu: $T_{\nu}$
• Indeksy spinorowe – małe litery łacińskie od a wzwyż, stojące u góry lub u dołu $T^{b}$

Jeden tensor może mieć wiele indeksów: $T^{\mu \nu a}_{\; \; \; \; \; \; \pi b \rho} {}^{\sigma}$

Często kolejność indeksów jest nieistotna (tensor symetryczny) lub znana z kontekstu. Wtedy dla uproszczenia można zapisać: $T^{\mu \nu a \sigma}_{\pi b \rho}$

Dodawanie tensorów oznacza się znakiem +; indeksy tensorów muszą się zgadzać

$A^{\mu}_{\;\; \nu \pi} + B^{\mu}_{\;\; \nu \pi} = C^{\mu}_{\;\; \nu \pi}$

Odejmowanie znakiem -; indeksy tensorów muszą się zgadzać

$X^{\mu \nu}_{\; \; \;\;\pi \rho} - Y^{\mu \nu}_{\;\;\;\;\pi \rho} = Z^{\mu \nu}_{\;\;\;\;\pi \rho}$

Mnożenie zewnętrzne znakiem $\cdot$, który można pominąć; indeksy tensorów nie mogą się powtarzać

$r^{\mu \nu}_{\; \;\;\; \rho} \cdot s^{\pi}_{\;\; \sigma} = t^{\mu \nu}_{\; \;\;\; \rho} {}^{\pi}_{\;\; \sigma}$

Kontrakcję zapisuje się przez powtórzenie tego samego indeksu u góry i u dołu

$U^{\mu \nu \pi}_{\rho \sigma \nu} = V^{\mu \pi}_{\rho \sigma}$ (powtórzył się symbol $\nu$)

Mnożenie wewnętrzne to połączenie mnożenia zewnętrznego i kontrakcji

$f^{\mu \nu}_{\rho} \cdot g^{\rho}_{\sigma} = h^{\mu \nu}_{\sigma}$ (powtórzył się symbol $\rho$)

Zwróć uwagę na podobieństwo zapisu kontrakcji i iloczynu wewnętrznego do konwencji sumacyjnej.

Różniczkowanie oznacza się na różne sposoby: albo przez zapis "operatorowy":

$\partial_{\mu} R^{\nu}$

$\operatorname{D}_{\mu} R^{\nu}$

albo "indeksowy" z użyciem przecinka lub średnika

$R^{\nu}_{,\mu}$

$R^{\nu}_{;\mu}$

Transpozycję zapisuje się jako przestawienie indeksów tego samego typu:

$M^{\mu \nu} = N^{\nu \mu} \,$

Zastosowania

Zwykle w zastosowaniach inżynierskich, jeśli nie podaje się inaczej, rozważa się tensory zdefiniowane nad euklidesową przestrzenią wektorową położeń i własności tensora podczas zmian układu współrzędnych związanych z obrotami. Jednak w wielu dziedzinach (zwłaszcza fizyki) rozważa się rozmaite typy i rodzaje przekształceń zdefiniowanych nad nietrywialnymi przestrzeniami liniowymi często np. funkcyjnymi co powoduje, że rozważane tam tensory maja o wiele bardziej skomplikowaną naturę. Matematyka zaś bada własności tensorów niejako niezależnie od przestrzeni nad którą one działają.

Przykłady tensorów w fizyce

Przykłady tensorów w fizyce:

• skalary: temperatura, masa, energia, gęstość, liczba cząstek i wiele innych,
• wektory: prędkość, siła, wektor położenia, przyspieszenie i wiele innych,
• pseudowektory: moment siły, moment pędu,
• tensory drugiego rzędu: tensor pola elektromagnetycznego, tensor odkształcenia, tensor naprężenia w ciele stałym itp.,
• tensory czwartego rzędu: tensor sztywności, tensor podatności
• spinory: spin elektronu, spiny fermionów,

W fizyce zwykle wymaga się, aby wielkości fizyczne miały określony i poprawnie zdefiniowany charakter tensorowy, co sprowadza się do warunku, aby były określone ich własności transformacyjne podczas zamiany układu współrzędnych.

Linki

• Joseph C. Kolecki: An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering (Wprowadzenie do rachunku tensorowego dla studentów, PDF, j.angielski, 328 kB, publikacja NASA)