Tetracja

$\lim_{n\rightarrow \infty} x^{\frac{n}{}}$ Nieskończona wieża wykładnicza dla podstawy $(e^{-1})^e \le x \le e^{e^{-1}})$

Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego potęgowania elementu przez siebie.

Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:

1. dodawanie

   $a + n = a+\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n$

   a powiększone o $1$ n razy.

2. mnożenie

   $a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n$

   a dodane do siebie n razy.

3. potęgowanie

   $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n$

   a pomnożone przez siebie n razy.

4. tetracja

   ${^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n$

   a potęgowane przez siebie n razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ustalono uogólnienia wartości n na zespolone, ponadto tetracja nie jest uznawana za funkcję elementarną.

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a > 0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n \ge 0$ definiujemy $\,\! {^{n}a}$ jako:

${^{n}a}=\begin{cases} 1 & \mbox{ jeśli }n=0 \\ a^{(^{n-1}a)} & \mbox{ jeśli }n> 0 \end{cases}$

Iterowane potęgowanie

Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako "wieża potęgowania", potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:

$\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536$

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:

$\,\! 2^{2^{2^2}} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2} = 256$

Z tego powodu, wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

Terminologia

Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.

• Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy en:Infinity and the Mind.
• Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• Termin hiperpotęgowanie jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4, lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
• Termin wieża wykładnicza jest używany sporadycznie, w postaci "wieża wykładnicza rzędu n" dla ${\ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop n}$

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminologii przez nie używanej może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

Forma	Terminologia
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}}$	Tetracja
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}$	Iterowana funkcja wykładnicza
$a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}$	Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
$a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}$	Nieskończone potęgowanie (także wieże)

W pierwszym wyrażeniu a jest podstawą, a ilość pojawiania się a jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, n jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

Notacja

Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:

Nazwa	Forma	Opis
Zapis standardowy	$\,{}^{n}a$	Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce en:Infinity and the Mind.
Notacja strzałkowa Knutha	$a {\uparrow\uparrow} n$	Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya	$a \rightarrow n \rightarrow 2$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
Funkcja Ackermanna	${}^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3$	Pozwala w szczególnym przypadku $a=2$ na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
Iterowany zapis wykładniczy	${}^{n}a = \exp_a^n(1)$	Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
Zapis Hooshmand	$\operatorname{uxp}_a n, \, a^{\frac{n}{}}$
Zapis hiper operator	$a^{(4)}n, \, \operatorname{hyper}_4(a,n)$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
Zapis ASCII	a^^n	Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (^), operator tetracji może zostać zapisany jako (^^).

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:

$\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}$ gdzie "a" występuje n razy.

Nie ma wiele zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:

Nazwa	Forma	Opis
Standardowy	$\exp_a^n(x)$	Euler stworzył zapis $\exp_a(x) = a^x$, a iteracyjny zapis $f^n(x)$ istnieje równie długo.
Zapis strzałkowy Knutha	$(a{\uparrow})^n(x)$	Pozwala na super-potęgowanie i funkcje super-wykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
Zapis Ioannis Galidakisa	$\,{}^{n}(a, x)$	Pozwala na duże wyrażenia w podstawie.
ASCII (pomocnicze)	a^^n@x	W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją.
ASCII (standard)	exp_a^n(x)	Na podstawie standardowego zapisu.

Przykłady

W poniższej tabeli, większość wartości jest zbyt duża by je zapisać w notacji naukowej, więc zastosowano iterowany zapis wykładniczy aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp_{10}^3(1.09902)$
4	256	$\exp_{10}^2(2.18788)$	$\exp_{10}^3(2.18726)$
5	3125	$\exp_{10}^2(3.33931)$	$\exp_{10}^3(3.33928)$
6	46 656	$\exp_{10}^2(4.55997)$	$\exp_{10}^3(4.55997)$
7	823 543	$\exp_{10}^2(5.84259)$	$\exp_{10}^3(5.84259)$
8	16 777 216	$\exp_{10}^2(7.18045)$	$\exp_{10}^3(7.18045)$
9	387 420 489	$\exp_{10}^2(8.56784)$	$\exp_{10}^3(8.56784)$
10	10 000 000 000	$\exp_{10}^3(1)$	$\exp_{10}^4(1)$

Linki zewnętrzne

• Andrew Robbins' site on tetration
• Daniel Geisler's site on tetration
• Tetration Forum
• tetration at citizendium
• Gottfried Helms' site on tetration