Tożsamość Czebyszewa

Tożsamość Czebyszewa to następująca równość:

$\sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n b_i = n\sum_{i=1}^n a_i b_i-\sum_{i=1}^n\sum_{k=i+1}^n (a_i-a_k)(b_i-b_k)$

Jej nazwa pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka Czebyszewa.

Jeżeli założyć, że $(a_i-a_k)(b_i-b_k)\geqslant 0$, to otrzymuje się stąd następującą nierówność, zwaną często nierównością Czebyszewa:

$n\sum_{i=1}^n a_i b_i\geqslant\sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n b_i$

W szczególności, nierówność Czebyszewa zachodzi, gdy $a_1\geqslant a_2\geqslant a_3\geqslant\dots \geqslant a_n$ oraz $b_1\geqslant b_2\geqslant b_3\geqslant\dots \geqslant b_n$.

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa w rachunku prawodpodobieństwa.