Tożsamość czterech kwadratów Eulera

Tożsamość czterech kwadratów Eulera - tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnch ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\,$

$(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +\,$

$(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\,$

$(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +\,$

$(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.\,$

Tożsamość jest prawdziwa dla $a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4$ z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):

$(|u_1|^2+|u_2|^2)(|v_1|^2+|v_2|^2)=|u_1 v_1 - u_2 \overline{v_2}|^2+|u_1 v_2 + u_2 \overline{v_1}|^2$

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości $|z|^2=z \overline{z}$ do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości $|u+v|^2=|u|^2 + |v|^2 + 2 Re(u\overline{v})$ do wyrazów po prawej.

Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange'a o rozkładach liczb naturalnych.