Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne to podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Tożsamości pitagorejskie

Wzór

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \,$,

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa. Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

$\sec^2 x - \mbox{tg}^2 x = 1\;$

$\csc^2 x - \mbox{ctg}^2 x = 1\;$

Okresowość funkcji

Funkcje trygonometryczne są okresowe $(k \in \mathbb{Z})$:

$\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k \pi) & \mbox{tg } x = \mbox{tg } (x + k \pi) \\\cos x = \cos(x + 2k \pi) & \mbox{ctg } x = \mbox{ctg } (x + k \pi)\end{array}$

Definicje tangensa i cotangensa

$\mbox{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\mbox{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus

$|\sin x| = \sqrt {1- \cos^2 x}$

$|\mbox{tg } x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac {\sqrt {1- \cos^2 x}} {|\cos x|}$

$|\mbox{ctg } x| = \frac{|\cos x|}{|\sin x|} = \frac {|\cos x|} {\sqrt {1- \cos^2 x}}$

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus

$|\cos x| = \sqrt {1- \sin^2 x}$

$|\mbox{tg } x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac {|\sin x|} {\sqrt {1- \sin^2 x}}$

$|\mbox{ctg } x| = \frac{|\cos x|}{|\sin x|} = \frac {\sqrt {1- \sin^2 x}} {|\sin x|}$

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

$\begin{array}{l l}\sin (-x) = -\sin(x) & \mbox{tg }(-x) = -\mbox{tg } x \\\cos (-x) = \cos x & \mbox{ctg } (-x) = -\mbox{ctg } x\end{array}$

• sinus, tangens, cotangens i cosecans są funkcjami nieparzystymi
• cosinus i secans są funkcjami parzystymi

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami

Równości

$\begin{array}{l l}\sin x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) & \cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x) \\\mbox{tg } x = \mbox{ctg } (\frac{\pi}{2} -x) & \mbox{ctg } x = \mbox{tg } (\frac{\pi}{2} - x)\\ \sec x = \csc (\frac{\pi}{2} - x) & \csc x = \sec (\frac{\pi}{2} - x) \end{array}$

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności

Funkcje trygonometryczne można układać w pary wg kofunkcji lub wg odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

$\begin{array}{l l}\sin x= \frac{1}{\csc x} & \csc x= \frac{1}{\sin x} \\ \\ \cos x= \frac{1}{\sec x} & \sec x= \frac{1}{\cos x} \\ \\ \mbox{tg } x= \frac{1}{\mbox{ctg }x} & \mbox{ctg } x= \frac{1}{\mbox{tg }x}\end{array}$

Funkcje sumy i różnicy kątów

$\sin (x \pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y \,$

$\cos (x \pm y) = \cos x \cdot \cos y \mp \sin x \cdot \sin y \,$

$\mbox{tg } (x \pm y) = \frac{\mbox{tg } x \pm \mbox{tg } y}{1 \mp \mbox{tg } x \cdot \mbox{tg } y}$

$\mbox{ctg } (x \pm y) = \frac{\mbox{ctg } x \cdot \mbox{ctg } y \mp 1}{\mbox{ctg } y \pm \mbox{ctg } x}$

Dowód

Na mocy wzoru Eulera: $e^{xi}=\cos x+i \sin x$ oraz $e^{yi}=\cos y+i \sin y$; wymnożenie obu równości stronami daje: $e^{i\left(x+y\right)}=\cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot \sin y+i\left( \sin x\cos y+\cos x\sin y\right).$ Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera: $e^{i\left(x+y\right)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y)$. Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić $\mbox{tg}$ i $\mbox{ctg}$ przez $\sin$ i $\cos$.

Funkcje wielokrotności kątów

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie $y= x$ we wzorach na funkcje sumy kątów.

$\sin (2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x \,$

$\left.\cos (2 x) = \cos^2x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2\cos^2x - 1 \right.$

$\mbox{tg } (2 x) = \frac{2 \mbox{tg } x}{1 - \mbox{tg }^2 x}$

$\mbox{ctg } (2 x) = \frac{\mbox{ctg } x - \mbox{tg } x}{2} = \frac{\mbox{ctg }^2 x - 1}{2 \mbox{ctg } x}$

$\sin (3 x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \,$

$\cos (3 x) = 4\cos^3x - 3 \cos x \,$

$\mbox{tg } (3 x) = \frac{3 \mbox{tg } x - \mbox{tg }^3 x}{1 - 3\mbox{tg }^2 x}$

$\mbox{ctg } (3x) = \frac {\mbox{ctg }^3 x - 3 \mbox{ctg } x}{3 \mbox{ctg }^2 x -1}$

$\sin (4 x) = 8 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x\sin x\,$

$\cos (4 x) = 8\cos^4x - 8 \cos^2 x+1 \,$

$\mbox{tg } (4 x) = \frac{4 \mbox{tg } x - 4 \mbox{tg }^3 x}{1 - 6\mbox{tg }^2 x+\mbox{tg }^4 x}$

$\mbox{ctg } (4 x) = \frac{\mbox{ctg }^4 x - 6 \mbox{ctg }^2 x+1}{4\mbox{ctg }^3 x-4\mbox{ctg } x}$

Ogólnie :

$\sin (nx)=\sum^\infty_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i+1}\cos^{n-2i-1}x\sin^{2i+1}x=\sum^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i+1}\cos^{n-2i-1}x\sin^{2i+1}x=$

$=n\cos^{n-1} x \sin x-{n \choose 3}\cos^{n-3} x \sin^3 x+{n \choose 5}\cos^{n-5} x \sin^5 x-{n \choose 7}\cos^{n-7} x \sin^7 x+\dots$

$\cos (nx)=\sum^\infty_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i}\cos^{n-2i}x\sin^{2i}x=\sum^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i}\cos^{n-2i}x\sin^{2i}x=$

$=\cos^n x-{n \choose 2}\cos^{n-2} x \sin^2 x+{n \choose 4}n\cos^{n-4} x \sin^4 x-{n \choose 6}n\cos^{n-6} x \sin^6 x+\dots$

$\tan (nx) = \sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor } {n \choose 2i+1}\tan ^{2i+1} x\cdot (-1)^{i} \cdot \left( \sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} {n \choose 2i}\tan ^{2i} x\cdot (-1)^i \right)^{-1}$

Funkcje kąta połówkowego

$\left| \sin\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

$\left| \cos\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

$\left| \operatorname{tg}\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$

$\operatorname{tg}\frac{1}{2}x =\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$

$\left| \operatorname{ctg}\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$

$\operatorname{ctg}\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}$

Suma i różnica funkcji

$\sin x \pm \sin y = 2 \sin \frac {x \pm y} 2 \cdot \cos \frac {x \mp y } 2$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac {x + y} 2 \cdot \cos \frac {x - y } 2$

$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac {x + y} 2 \cdot \sin \frac {x - y } 2$

$\operatorname{tg}x\pm \operatorname{tg}y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}$

$\operatorname{tg}x+ \operatorname{ctg}y=\frac{\cos(x-y)}{\cos x\sin y}$

$\operatorname{ctg}x\pm \operatorname{ctg}y= \frac{\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}$

$\operatorname{ctg}x- \operatorname{tg}y=\frac{\cos(x+y)}{\sin x\cos y}$

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac x 2$

$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac x 2$

$1 - \sin x = 2 \sin^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) =2\cos^2\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}x\right)$

$1 + \sin x = 2 \cos^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) =2\sin^2\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}x\right)$

Iloczyn w postaci sumy

$\cos x \cdot \cos y = \frac{\cos (x - y) + \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \cos y = \frac{\sin (x - y) + \sin (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \sin y \cdot \sin z = \frac{\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)} 4$

$\sin x \cdot \sin y \cdot \cos z = \frac{-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)} 4$

$\sin x \cdot \cos y \cdot \cos z = \frac{\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)} 4$

$\cos x \cdot \cos y \cdot \cos z = \frac{\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)} 4$

Potęgi w postaci sumy

$\sin^2 x = {1 - \cos(2x) \over 2}$

$\cos^2 x = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2 x \cos^2 x = {1 - \cos(4 x) \over 8} = {\sin^2(2x) \over 4}$

$\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin(3 x)}{4}$

$\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos(3 x)}{4}$

$\sin^4 x = \frac{\cos(4x) - 4\cos(2x)+3}{8}$

$\cos^4 x = \frac{\cos(4x) + 4\cos(2x)+3}{8}$

$\sin^2 x - \sin^2 y = \sin (x + y) \cdot \sin (x - y)$

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta

$\sin x=\frac{2 \mbox{tg}\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}$

$\cos x=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}$,

$\mbox{tg} x=\frac{2\mbox{tg}\frac{x}{2}}{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}$

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu $\int R(\sin x, \cos x, \mbox{tg} x)dx$, gdzie $R(u,v,w)$ jest funkcją wymierną zmiennych $u,v,w$. Stosuje się podstawienie:

$\mbox{tg}\frac{x}{2}=t$

$x=2\operatorname{arctg}\;t+2k\pi$

$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$.

Wzory Eulera

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\operatorname{tg} x = {e^{ix} - e^{-ix} \over (e^{ix} + e^{-ix})i}$

$\operatorname{ctg} x = {e^{ix} + e^{-ix} \over e^{ix} - e^{-ix}}i$

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi

$\mbox{tg}(x) + \sec(x) = \mbox{tg}\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).$

Wzór de Moivre'a

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n \qquad n \in \mathbb{N} \,$

lub ogólniej:

$[r(\cos(x)+i\sin(x))]^n=r^n (\cos(nx)+i\sin(nx)) \qquad n \in \mathbb{N} \,$

Zobacz też

• trygonometryczne wzory redukcyjne