Podprzestrzeń komplementarna

Podprzestrzeń komplementarna - domknięta podprzestrzeń liniowa X danej przestrzeni liniowo-topologicznej E o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa Y, iż

$E = X\oplus Y$,

tj. X + Y = E oraz X ∩ Y = {0}. Rozkład przestrzeni E na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto, podprzestrzeń X przestrzeni liniowo-topologicznej E jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego P: E → E spełniającego warunek P² = P (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech λ ≥ 1 oraz E będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa X przestrzeni E jest λ-komplementarna, gdy istnieje rzut P: E → E o normie ≤ λ.

Przykłady

• Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna. Co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem. Przestrzeń Banacha której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta.
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli E jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz X jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c₀, to X jest 2-komplementarna w E. Stałej 2 nie można poprawić.
• Phillips i Sobczyk pokazali niezależnie, że żadna podprzestrzeń przestrzeni ℓ_∞ izomorficzna z c₀ nie jest komplementarna.
• W przestrzeniach ℓ_p dla p ∈ [1, 2) ∪ (2, ∞) istnieją podprzestrzenie izomorficzne z ℓ_p, które nie są komplementarne.
• W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych C[0, ω^ω] na liczbie porządkowej ω^ω + 1 istnieje podprzestrzeń izomorficzna z C[0, ω^ω], która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeniu typu C(K), gdzie K jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że C(K) nie jest izomorficzne z c₀ (w tym wypadku C(K) zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z C[0, ω^ω]).