Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny
a, b - długości przyprostokątnych,
c - długość przeciwprostokątnej,
α, β - miary kątów ostrych,
h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5 .

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne

• środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
• przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami
• symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi
• środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne
• wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są podobne tak do siebie jak i całego trójkąta.

Związki metryczne

• Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
• Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość ${{ab}\over{c}}$, jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości
• Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:

$S={\tfrac{1}{2}{c}\cdot{h}}$

$S={\tfrac{1}{2}{a}\cdot{b}}$

$S={{\tfrac{1}{2} b^2 \operatorname{tg}\alpha}}={{\tfrac{1}{2}a^2\operatorname{tg}\beta}}$,

$S={\tfrac{1}{4}c^2 \operatorname{sin}2\alpha}= {\tfrac{1}{4}c^2 \operatorname{sin}2\beta}$

• Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: R = 1 / 2c
• Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: $r = \frac{a+b-c}{2}$

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: (a + b − c)(a + b + c) = (a + b)² − c². Z twierdzenia Pitagorasa wynika: (a + b)² − c² = 2ab. Zatem z wzorów na pole trójkąta: $S=pr=\frac{1}{2}ab=\frac{a+b-c}{2} p$ i $r=\frac{a+b-c}{2}$.

• Niech r₁,r₂ oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na dzieli wysokość. Wówczas zachodzą równości:

r + r₁ + r₂ = h

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: $r = \frac{a+b-c}{2}$, $r_1 = \frac{y+h-a}{2}$, $r_2 = \frac{x+h-b}{2}$, gdzie x,y to długości odcinków, na które wysokość dzieli c. Zatem (x + y = c) $\frac{a+b-c}{2}+\frac{y+h-a}{2}+\frac{x+h-b}{2}= \frac{2h}{2}$.

$r_1^2+r_2^2=r^2$

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

• Niech r_a,r_b,r_c oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

$r=\frac{r_a r_b}{r_c}$

r_c = r + r_a + r_b

Bibliografia

Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003, s. 224-225. ISBN 83-86007-63-X.  (pol.)