Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny - trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość (oznaczmy ją $a\,$). Taki trójkąt ma następujące własności:

• każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

$\alpha=\frac{\pi}{3}=60^\circ$;

• obwód wynosi:

$L=3a\,$;

• wysokość ma długość:

$h=\frac{a~\sqrt{3}}{2} \approx 0,866~a$;

• pole powierzchni jest równe:

$S=\frac{a^2~\sqrt{3}}{4} \approx 0,433~a^2$;

• długość promienia okręgu wpisanego wynosi:

$r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6} \approx 0,289~a$;

• długość promienia okręgu opisanego wynosi:

$R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3} \approx 0,577~a$;

• jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi, oraz dzielą się w stosunku 1 : 2 ;
• jest to szczególny przypadek trójkąta równoramiennego;
• jest to wielokąt foremny.

Podstawowe zależności w trójkącie równobocznym

$=\,$	$a\,$	$h\,$	$S\,$	$r\,$	$R\,$	$L_r\,$	$L_R\,$	$S_r\,$	$S_R\,$
$a\,$	$a\,$	$\frac{2h\sqrt{3}}{3}$	$2\sqrt{\frac{S\sqrt{3}}{3}}$	$2r\sqrt{3}$	$R\sqrt{3}$	$\frac{L_r\sqrt{3}}{\pi}$	$\frac{L_R\sqrt{3}}{2\pi}$	$2\sqrt{\frac{3S_r}{\pi}}$	$\sqrt{\frac{3S_R}{\pi}}$
$h\,$	$\frac{a\sqrt{3}}{2}$	$h\,$	$\sqrt{S\sqrt{3}}$	$3r\,$	$\frac{3}{2}R$	$\frac{3L_r}{2\pi}$	$\frac{3L_R}{4\pi}$	$3\sqrt{\frac{S_r}{\pi}}$	$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{S_R}{\pi}}$
$S\,$	$\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$	$\frac{h^2 \sqrt{3}}{3}$	$S\,$	$3r^2\sqrt{3}$	$\frac{3 R^2\sqrt{3}}{4}$	$\frac{3 {L_r}^2\sqrt{3}}{4\pi^2}$	$\frac{3 {L_R}^2\sqrt{3}}{16\pi^2}$	$\frac{3 S_r\sqrt{3}}{\pi}$	$\frac{3 S_R\sqrt{3}}{4\pi}$
$r\,$	$\frac{a\sqrt{3}}{6}$	$\frac{1}{3}h$	$\frac{\sqrt{S\sqrt{3}}}{3}$	$r\,$	$\frac{1}{2}R$	$\frac{L_r}{2\pi}$	$\frac{L_R}{4\pi}$	$\sqrt{\frac{S_r}{\pi}}$	$\sqrt{\frac{S_R}{4\pi}}$
$R\,$	$\frac{a\sqrt{3}}{3}$	$\frac{2}{3}h$	$\frac{2\sqrt{S\sqrt{3}}}{3}$	$2r\,$	$R\,$	$\frac{L_r}{\pi}$	$\frac{L_R}{2\pi}$	$2\sqrt{\frac{S_r}{\pi}}$	$\sqrt{\frac{S_R}{\pi}}$
$L_r\,$	$\frac{\pi a\sqrt{3}}{3}$	$\frac{2\pi h}{3}$	$\frac{2\pi\sqrt{S\sqrt{3}}}{3}$	$2\pi r \,$	$\pi R \,$	$L_r\,$	$\frac{L_R}{2}$	$2\sqrt{\pi S_r}$	$\sqrt{\pi S_R}$
$L_R\,$	$\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$	$\frac{4\pi h}{3}$	$\frac{4\pi\sqrt{S\sqrt{3}}}{3}$	$4\pi r \,$	$2\pi R \,$	$2L_r \,$	$L_R \,$	$4\sqrt{\pi S_r}$	$2\sqrt{\pi S_R}$
$S_r\,$	$\frac{\pi a^2}{12}$	$\frac{\pi h^2}{9}$	$\frac{\pi S\sqrt{3}}{9}$	$\pi r^2 \,$	$\frac{\pi R^2}{4}$	$\frac{{L_r}^2}{4\pi}$	$\frac{{L_R}^2}{16\pi}$	$S_r\,$	$\frac{S_R}{4}$
$S_R\,$	$\frac{\pi a^2}{3}$	$\frac{4\pi h^2}{9}$	$\frac{4\pi S\sqrt{3}}{9}$	$4\pi r^2 \,$	$\pi R^2 \,$	$\frac{{L_r}^2}{\pi}$	$\frac{{L_R}^2}{4\pi}$	$4S_r \,$	$S_R\,$

Zobacz też

• twierdzenie trysekcji Morleya