Trójkąt sferyczny

trójkąt sferyczny ABC

Trójkąt sferyczny jest to figura przestrzenna powstała z trzech łuków kół wielkich na sferze. Łuki te spełniają tę samą funkcję, co odcinki w trójkącie, więc muszą się one przecinać w wierzchołkach. W wyniku przecięcia powstaje na sferze 8 trójkątów sferycznych, w tym jeden trójkąt eulerowski.

Symbole

Symbole obowiązujące w poniższych wzorach:

• A, B, C - kąt przy odpowiednim wierzchołku,
• a, b, c - bok na przeciwko odpowiedniego wierzchołka,

Niektóre właściwości trójkątów sferycznych

• suma długości dwóch boków (łuków) jest większa od długości trzeciego boku,
• suma kątów wewnętrznych wynosi od $\pi$ do $3\pi$ (od 180° do 540°),
• obwód nie może być większy niż $2\pi R$, czyli obwód koła wielkiego ($R$ – promień sfery),
• pole powierzchni nie może być większe niż $2\pi R^2$, czyli połowa pola sfery ($R$ – promień sfery),
• naprzeciw większego (mniejszego) boku leży większy (mniejszy) kąt i odwrotnie – naprzeciw mniejszego (większego) kąta leży mniejszy (większy) bok,
• naprzeciw równych boków leżą równe kąty,
• suma dwóch kątów jest mniejsza od sumy boku kąta trzeciego i półpełnego (A + B < C + 180°),
• jeżeli suma dwóch boków jest większa, równa lub mniejsza od 180°, to suma pozostałych kombinacji boków jest również odpowiednio większa, równa lub mniejsza od 180°.

Nadmiarem sferycznym (ekscesem sferycznym) nazywamy nadwyżkę sumy kątów trójkąta sferycznego ponad 180° i oznaczamy ją grecką literą ε.

A + B + C − 180° = ε

Między powierzchnią S trójkąta sferycznego i jego ekscesem istnieje zależność:

S = R² × ε

ε wyrażone w radianach.

Trójkąty sferyczne w geodezji wyższej

Pomiary geodezyjne są wykonywane w terenie na fizycznej nieregularnej powierzchni Ziemi. Powierzchnię całego globu najlepiej reprezentuje geoida, która nie daje się ściśle ująć w formuły matematyczne, dlatego jako powierzchnię odniesienia służącą do wykonywania obliczeń matematycznych, przyjmuje się elipsoidę obrotową. Przyjmuje się, że pomiary wykonane na Ziemi fizycznej zostały na elipsoidę odniesienia rachunkowo zredukowane, są to przede wszystkim pomiary w sieciach triangulacyjnych, które w terenie przedstawiają sieć punktów, tworzących trójkąty o bokach długości 20 – 50 km. Z kolei rzuty tych punktów na elipsoidę odniesienia tworzą na niej sieć trójkątów elipsoidalnych, których boki są tzw. liniami geodezyjnymi (ortodromami), kąty zaś są kątami elipsoidalnymi. W tych trójkątach pewne elementy są znane na podstawie pomiarów, inne musimy obliczyć. Jeżeli boki trójkątów triangulacyjnych są małe w stosunku do promieni krzywizny elipsoidy, to zadanie rozwiązywania trójkątów elipsoidalnych sprowadza się do rozwiązania trójkątów sferycznych na kuli o odpowiednio dobranym promieniu. Wiąże się to również z dokładności jaką chcemy uzyskać.

Wzory do rozwiązywania trójkątów sferycznych

Wzory sinusowe

$\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$

Wzory cosinusowe dla boków

$\cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A$

$\cos b = \cos a \cdot \cos c + \sin a \cdot \sin c \cdot \cos B$

$\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos C$

Wzory cosinusowe dla kątów

$\cos A = -\cos B \cdot \cos C + \sin B \cdot \sin C \cdot \cos a$

$\cos B = -\cos A \cdot \cos C + \sin A \cdot \sin C \cdot \cos b$

$\cos C = -\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \cdot \cos c$

Wzory sinusowo-cosinusowe

$\sin a \cdot \cos B=\cos b \cdot \sin c-\sin b \cdot \cos c \cdot \cos A$

$\sin b \cdot \cos C=\cos c \cdot \sin a-\sin c \cdot \cos a \cdot \cos B$

$\sin c \cdot \cos A=\cos a \cdot \sin b-\sin a \cdot \cos b \cdot \cos C$

$\sin a \cdot \cos C=\cos c \cdot \sin b-\sin c \cdot \cos b \cdot \cos A$

$\sin b \cdot \cos A=\cos a \cdot \sin c-\sin a \cdot \cos c \cdot \cos B$

$\sin c \cdot \cos B=\cos b \cdot \sin a-\sin b \cdot \cos a \cdot \cos C$

Zobacz też

• dwukąt
• Trójkąt eulerowski