Translacja (matematyka)

Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku.

Translacja, przesunięcie – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.

Definicja

Niech $\mathbf v$ będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej $\mathbf V$.

Translacją $T_v$ nazywamy przekształcenie dane wzorem:

$T_\mathbf v(x) = x + \mathbf v.$

Wektor $\mathbf v$ nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury $A$ w przekształceniu $T_v$ nazywa się translacją figury $A$ o wektor $\mathbf v$ i oznacza $A + \mathbf v.$

Własności

Jeśli $\mathbf v = \mathbf 0$, to translacja $T$ jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś $\mathbf v \ne \mathbf 0$, to $T$ nie ma żadnego punktu stałego.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowych jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji $T\,$ i dowolnej izometrii $G\,$ przekształcenie $GTG^{-1}\,$ też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:

• kierunek (tzn. klasa prostych równoległych),
• odległość punktów,
• orientacja przestrzeni.

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).